Kezdőlap


Feladat:	634. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dolowschiák M. , Faith F. , Filkorn Jenő , Freibauer E. , Kornis Ö. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Obláth R. , Pálfy F. , Perl Gy. , Sasvári G. , Weisz J.
Füzet:	1900/január, 98 - 99. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Szinusztétel alkalmazása, Trigonometriai azonosságok, Szögfelező egyenes, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/december: 634. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Oldjuk meg először az utóbbi feladatot. Legyen a szög, melyet az $A D$ szögfelező az $a$ oldallal bezár $δ$ , illetőleg $180^{\circ} - δ$ ; továbbá $B D = x$ és $D C = a - x$ . Az $A B D$ és $A D C$ háromszögekből:

\begin{matrix} x : l = sin \frac{α}{2} : sin (δ + \frac{α}{2}) \end{matrix}

és

\begin{matrix} (a - x) : l = sin \frac{α}{2} : sin (δ - \frac{α}{2}) . \end{matrix}

E két egyenletet összeadva:

\begin{matrix} \frac{a}{l} = sin \frac{α}{2} \cdot \frac{s i n (δ - \frac{α}{2}) + sin (δ + \frac{α}{2})}{sin (δ - \frac{α}{2}) \cdot sin (δ + \frac{α}{2})} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{a}{l} = sin \frac{α}{2} \cdot \frac{4 sin δ cos \frac{α}{2}}{2 sin^{2} δ - 1 + cos α} \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{a}{l} = \frac{2 sin α sin δ}{2 sin^{2} δ - 1 + cos α} \end{matrix}

Az egyenletet rendezve lesz:

\begin{matrix} sin^{2} δ - \frac{l sin α}{α} sin δ + \frac{1}{2} (cos α - 1) = 0, \end{matrix}

mely egyenletből

\begin{matrix} sin δ = \frac{l sin α \pm \sqrt[]{(1 + cos α) [l^{2} (1 + cos α + 2 a^{2}]}}{2 a} \end{matrix}

(1)

A háromszög alkatrészei ennélfogva:

\begin{matrix} β = δ - \frac{α}{2}, γ = 180^{\circ} - (δ + \frac{α}{2}); \end{matrix}

\begin{matrix} b = \frac{a sin β}{sin α}, c = \frac{a sin γ}{sin α}, t = \frac{a l}{2} sin δ . \end{matrix}

α = 90^{\circ}

, akkor

\begin{matrix} sin δ = \frac{1}{2 a} (l \pm \sqrt[]{l^{2} + 2 a^{2}}) \end{matrix}

(2)

(1)-ben és (2)-ben a gyökmennyiség positív előjellel veendő, mert

δ < 180^{\circ}

, s így

sin δ

nem lehet negatív.

(Filkorn Jenő, Nyitra.)

Az 568. feladatot még megoldották: Dolowschiák M., Eisenberg B., Freibauer E., Krausz B., Krisztián Gy., Kürth A., Lukhaub Gy., Miletits E., Petrogalli G., Perl Gy., Rozlosnik P., Scholtz G., Spitzer Ö., Tinyó J., Weisz Á., Weisz J.

A 634. feladatot még megoldották: Dolowschiák M., Faith F., Freibauer E., Kornis Ö., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Obláth R., Pálfy F., Perl Gy., Sasvári G., Weisz J.