Kezdőlap


Feladat:	633. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Krausz B. , Krisztián György , Lukhaub Gy. , Sasvári G.
Füzet:	1900/június, 177 - 178. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Egyenes körkúpok, Egyenes körhengerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/december: 633. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kúp magassága $m$ , alapjának sugara $R$ , a henger magassága $x$ és alapjának sugara $r$ .
A henger köbtartalma:

\begin{matrix} K = π r^{2} \cdot x, \end{matrix}

de az előforduló hasonló háromszögek alapján:

\begin{matrix} x = \frac{m (R - r)}{R} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} K = \frac{π r^{2} (R - r) m}{R} . \end{matrix}

a henger köbtartalma tehát akkor maximum, ha az

\begin{matrix} y = r^{2} (R - r) \end{matrix}

függvény a legnagyobb értéket veszi fel.
Az egyenlet mindkét oldalát

2

-vel sokszorozva:

\begin{matrix} 2 y = r \cdot r (2 R - 2 r) . \end{matrix}

Az egyenlet jobb oldalán álló tényezők összege

(2 R)

egy állandó szám, miért is a henger köbtartalma akkor maximum, ha a tényezők egyenlők, vagyis ha

\begin{matrix} 2 R - 2 r = r, \end{matrix}

a honnan

\begin{matrix} r = \frac{2}{3} R, \end{matrix}

a mely esetben a henger magassága

x = \frac{1}{3} m

(Krisztián György, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Krausz B., Lukhaub Gy., Sasvári G.