Kezdőlap


Feladat:	632. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Krausz B. , Krisztián György , Lukhaub Gy. , Sasvári G.
Füzet:	1900/június, 176 - 177. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Térfogat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gömb és részei, Egyenes körkúpok, Beírt alakzatok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/december: 632. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a gömb sugara $R$ , a kúp alapjának sugara $x$ és magassága $y$ .
A kúp köbtartalma:

\begin{matrix} K = \frac{x^{2} \cdot y π}{3}, \end{matrix}

de mivel

\begin{matrix} x^{2} = y (2 R - y), \end{matrix}

azért

\begin{matrix} K = \frac{π}{3} \cdot y^{2} (2 R - y) . \end{matrix}

A kúp köbtartalma tehát akkor maximum, ha a

\begin{matrix} z = y^{2} (2 R - y) \end{matrix}

függvény a legnagyobb értékét veszi fel.
Az egyenlet mindkét oldalát

2

-vel sokszorozva:

\begin{matrix} 2 z = y \cdot y (4 R - 2 y) . \end{matrix}

De az egyenlet jobb oldalán álló tényezők összege

(4 R)

egy állandó szám, miért is a kúp köbtartalma akkor lesz a lehető legnagyobb, ha a tényezők egyenlők (K.M.L.V.36.l.), vagyis ha

\begin{matrix} 4 R - 2 y = y, \end{matrix}

miből a kúp magassága:

\begin{matrix} y = \frac{4}{3} R, \end{matrix}

a mely esetben a kúp alapjának sugara

\begin{matrix} x = \frac{2}{3} R \sqrt[]{2} . \end{matrix}

(Krisztián György, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Krausz B., Lukhaub Gy., Sasvári G.