|
Feladat: |
630. matematika feladat |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Antal Márkus , Freibauer E. , Kornis Ö. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Sasvári G. |
Füzet: |
1899/március,
118 - 120. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Simson-egyenes, Feuerbach-kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Magasságpont, Körülírt kör, Középponti és kerületi szögek, Trapézok, Húrnégyszögek, Háromszögek hasonlósága, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1898/december: 630. matematika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. . (2. ábra.) Mérjük rá a távolságra a távolságot úgy, hogy legyen s hosszabbítsuk meg a magasságot -ig.
2. ábra Minthogy , azért egyenlőszárú trapéz; és s így is egyenlőszárú trapéz. De az előbbeniek (III. bizonyítás) értelmében s így is párhuzamos -gyel. Minthogy tehát a Simson-féle egyenes párhuzamos -mel s felezi a távolságot, azért a háromszög oldalát is felezi, vagyis keresztül megy ezen egyenesenek középpontján.
. (3. ábra.) Legyenek a és pontokból az oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai az és Simson-féle egyenesek metszéspontja .
3. ábra A tétel a következőképp bizonytható: A és a húrnégyszögek, s így | | tehát | | (1) | hasonló eljárás után a és a húrnégyszögekből kapjuk, hogy | | (2) | Az (1)-et és (2)-őt tekintetbe véve, felírhatjuk, hogy | | vagy Ámde az és által bezárt szög külszöge az háromszögnek, s így
A (3) és (4) alapján közvetlenül látható, hogy
. (4. ábra.) Kössük össze a változó átmérő és végpontjait -mel, a háromszög magasságpontjával s jelöljük és metszéspontjait az és Simson-féle egyenesekkel és -vel. Legyen a háromszög köré írható kör középpontja s végre az és egyenesek metszéspontja .
4. ábra Az előbbeniek alapján: s minthogy azért az és háromszögek hasonlók. De ekkor: Látjuk, hogy középpontja ama egyenesnek, mely a magassági pontot a háromszög köré írható kör középpontjával összeköti, miért is a Feuerbach-féle kör középpontja (V. évfolyam 22. lap). Minthogy továbbá és , azért a Feuerbach-féle kör átmérője és a Simson-féle egyenesek metszéspontjának, -nek, a mértani helye a Feuerbach-féle kör (IV. 46. lap).
A feladatot még megoldották: Freibauer E., Krisztián Gy., Kornis Ö., Krausz B., Lukhaub Gy., Sasvári G. Jegyzet. , mert mindkét szög a szöget -ra egészíti ki; , mert a ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Így tehát , de , miért is . |
|