Kezdőlap


Feladat:	629. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Freibauer E. , Kornis Ö. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Neumann J. , Obláth R. , Pollák N. , Romsauer Etta , Sasvári Géza , Weisz J.
Füzet:	1899/április, 168. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Négyzetek, Magasságvonal, Háromszögek egybevágósága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/december: 629. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $D$ és $E$ pontokból az $A B$ -re bocsátott merőlegesek talppontjai: $D_{1}$ és $E_{1}$ . Tegyük föl, hogy $D A$ és $E B$ egyenesek a $C C_{1}$ magasságot $K$ és $L$ pontokban metszik. Bebizonyítjuk, hogy a $K$ és $L$ pontok egybeesnek. Minthogy $D D_{1} A ▵ \sim K C_{1} A ▵$ , azért:

\begin{matrix} D D_{1} : K C_{1} = (D_{1} B + B A) : A C_{1}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} K C_{1} = \frac{D D_{1} \cdot A C_{1}}{D_{1} B + B A} . \end{matrix}

(1)

E E_{1} B

és

L C_{1} B

hasonló háromszögekből:

\begin{matrix} E E_{1} : L C_{1} = (E_{1} A + A B) : B C_{1}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} L C_{1} = \frac{E E_{1} \cdot B C_{1}}{E_{1} A + A B} . \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} D D_{1} B ▵ ≅ B C C_{1} ▵ és E E_{1} A ▵ ≅ A C C_{1} ▵ \end{matrix}

s így

\begin{matrix} E E_{1} = A C_{1}, B C_{1} = D D_{1} és A E_{1} = C C_{1} = D_{1} B \end{matrix}

mik tekintetbe véve (2) így alakul:

\begin{matrix} L C_{1} = \frac{A C_{1} \cdot D D_{1}}{D_{1} B + A B} \end{matrix}

(3)

(1)-et (3)-mal összehasonlítva, látjuk, hogy

\begin{matrix} C_{1} K = C_{1} L . \end{matrix}

(Sasvári Géza.)

A feladatot még megoldották: Freibauer E., Kornis Ö., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Neumann J., Obláth R., Pollák N., Romsauer Etta., Weisz J.