Kezdőlap


Feladat:	626. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Filkorn J. , Freibauer E. , Kornis Ö. , Krausz Béla , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Sasvári G. , Weisz J.
Füzet:	1899/április, 166 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Terület, felszín, Mértani sorozat, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/december: 626. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük azon pontokat, melyek az $A B C$ háromszög oldalait a $p : q$ arányban osztják $M, N, P$ -vel; az $A P N$ háromszög területét $T_{A}$ -val, $B M P$ -ét $T_{B}$ -vel, $C M N$ -ét $T_{C}$ -vel, $A B C$ -ét $T$ -vel és $M N P$ -ét $T_{1}$ -gyel; akkor

\begin{matrix} A P = A B \frac{p}{p + q}, A N = A C \frac{q}{p + q}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} T_{A} = \frac{A B \cdot A C \cdot sin α}{2} \cdot \frac{p q}{{(p + q)}^{2}} = T \cdot \frac{p q}{{(p + q)}^{2}} . \end{matrix}

Látjuk, hogy az

A P N

háromszög területe az

A B C

háromszög oldalaitól független, miért is ugyanazon kifejezés adja a

T_{B}

és

T_{C}

háromszögek területeit is. Így tehát

\begin{matrix} T_{1} = T (1 - \frac{3 p q}{{(p + q)}^{2}}) \end{matrix}

hasonlóképpen

\begin{matrix} T_{2} = T_{1} (1 - \frac{3 p q}{{(p + q)}^{2}}) = T {(1 - \frac{3 p q}{{(p + q)}^{2}})}^{2}, stb . \end{matrix}

A háromszögek területei tehát végtelen mértani sort alkotnak, melynek hányadosa

1 - \frac{3 p q}{{(p + q)}^{2}}

; így tehát a területek összege

\begin{matrix} S = T \frac{{(p + q)}^{2}}{3 p q} . \end{matrix}

(1)

Jelöljük ama pontokat, melyek az

A B C D

négyszög oldalait a

p : q

arányban osztják

M, N, P, Q

-val; a négyszög csúcsainál fekvő háromszögek területeit

t_{a}, t_{b}, t_{c}, t_{d}

-vel; az eredeti négyszög területét

t

-vel, az

M N P Q

-ét

t_{1}

-gyel. Rajzoljuk meg a négyszög átlóit s jelöljük az

A B C

háromszög területét

t_{A}

-val, az

A B C

-ét

t_{B}

-vel stb. Ekkor az előbbeniek értelmében:

\begin{matrix} t_{a} = t_{A} \cdot \frac{p q}{{(p + q)}^{2}}, t_{b} = t_{B} \cdot \frac{p q}{{(p + q)}^{2}}, stb . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} t_{1} = t - 2 t \frac{p q}{{(p + q)}^{2}} = t (1 - \frac{2 p q}{{(p + q)}^{2}}) . \end{matrix}

A négyszögek területei ismét végtelen mértani haladványt alkotnak, melynek összege:

\begin{matrix} s = t \frac{{(p + q)}^{2}}{2 p q} \end{matrix}

(2)

(1) és (2)-ből

\begin{matrix} S : s = \frac{T}{3} : \frac{t}{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} T : t = 3 : 2 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} S : s = 1 : 1. \end{matrix}

(Krausz Béla.)

A feladatot még megoldották: Filkorn J., Freibauer E., Kornis Ö., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Sasvári G., Weisz J.