Kezdőlap


Feladat:	624. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csete Ferencz Alberik , Filkorn J. , Freibauer E. , Kornis Ö. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Obláth R. , Pollák N. , Sasvári G. , Tinyó J. , Weisz J.
Füzet:	1899/február, 106 - 107. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/december: 624. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott egyenletből

\begin{matrix} x = \frac{1 - m \pm \sqrt[]{1 + 2 m - 3 m^{2}}}{2 m} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x = \frac{1 - m \pm \sqrt[]{(1 + 3 m) (1 - m)}}{2 m} . \end{matrix}

A gyökök valósak, ha a gyökjel alatt álló kifejezés positív; mindkét tényező positív, ha

\begin{matrix} 1 ≧ m ≧ - \frac{1}{3} \end{matrix}

(1)

a két tényező egyidejűleg negatív nem lehet s így

m

-nek azon értékei mellett valósak a gyökök, melyek az (1) alatti feltételnek eleget tesznek. A gyökök előjeléről csakis

m

-nek ezen határértékei között beszélhetünk. A gyökök szorzata, illetőleg összege:

\begin{matrix} \frac{m - 1}{m} és \frac{- (m - 1)}{m} . \end{matrix}

m = - \frac{1}{3}

, akkor

x_{1} = x_{2} = - 2

; ha

m

nagyobb mint

- \frac{1}{3}

, de kisebb

0

-nál, akkor a szorzata positív, összegük ellenben negatív, s így mindkét gyök negatív. Ha

m = 0

, akkor

x_{1} = - 1

x_{2} = \infty

; ha

m

nagyobb mint

0

, de kisebb mint

1

, akkor a gyökök szorzata negatív s így a gyökök ellenkező előjelűek; ha

m = 1

, akkor

x_{1} = x_{2} = 0

; végre ha

m > 1

, akkor (1) értelmében a gyökök complexek.
A mondottakat összefoglalva, látjuk, hogy:

\begin{matrix} ha- \infty ≦ m < - \frac{1}{3} & akkor & a gyökök complexek, \\ m = - \frac{1}{3} & x_{1} = x_{2} = - 2, \\ - \frac{1}{3} < m < 0, & mindkét gyök negatív, \\ m = 0 & x_{1} = - 1, x_{2} = \infty, \\ 0 < m < 1, & a gyökök ellenkező előjelűek, \\ 1 < m ≦ \infty, & a gyökök complexek. \end{matrix}

(Csete Ferencz Alberik, Eger.)

A feladatot még megoldották: Filkorn J., Freibauer E., Kornis Ö., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Obláth R., Pollák N., Sasvári G., Tinyó J., Weisz J.