Kezdőlap


Feladat:	609. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Boros J. , Breuer M. , Freibauer E. , Kárf J. , Kármán Tivadar , Kornis Ö. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Miliczer L. , Obláth R. , Pálfy F. , Pollák N. , Porkoláb J. , Rehberger Z. , Róth D. , Sasvári G. , Spitzer Ö. , Vida A. , Weisz J.
Füzet:	1899/április, 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Trigonometriai azonosságok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/november: 609. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a két háromszög közös szöge $α$ ; ekkor

\begin{matrix} sin α + sin β + sin γ > sin α + sin β' + sin γ', \end{matrix}

\begin{matrix} sin β + sin γ > sin β' + sin γ', \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 2 sin \frac{β + γ}{2} cos \frac{β - γ}{2} > 2 sin \frac{β' + γ'}{2} cos \frac{β' - γ'}{2}, \end{matrix}

azonban

\begin{matrix} \frac{β + γ}{2} = 90^{\circ} - \frac{α}{2}, \frac{β' + γ'}{2} = 90^{\circ} - \frac{α}{2} \end{matrix}

s így egyenlőtlenségünk így is írható:

\begin{matrix} cos \frac{α}{2} cos \frac{β - γ}{2} > cos \frac{α}{2} cos \frac{β' - γ'}{2} . \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} cos \frac{β - γ}{2} > cos \frac{β' - γ'}{2} . \end{matrix}

De mivel

\frac{β - γ}{2}

hegyes szög, azért

cos \frac{β - γ}{2}

annál nagyobb, minél kisebb

β - γ

, a két nem közös szög külömbsége.
Tehát meghatározott

α

-nál

sin α + sin β + sin γ

legnagyobb, ha

β - γ

legkisebb, vagyis ha

β - γ = 0

, tehát ha

β = γ

. Ugyanígy bármely megadott

β

-nál

sin α + sin γ

legnagyobb, ha

α = γ

; bármely

γ

-nál

sin α + sin β

legnagyobb, ha

α = β

. Általában

sin α + sin β + sin γ

értéke legnagyobb, ha a háromszög egyenlő oldalú.

Kármán Tivadar jutalmazott dolgozata.)

A feladatot megoldották: Boros J., Breuer M., Freibauer E., Kárf J., Kornis Ö., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Miliczer L., Obláth R., Pálfy F., Pollák N., Porkoláb J., Rehberger Z., Róth D., Sasvári G., Spitzer Ö., Vida A., Weisz J.