Kezdőlap


Feladat:	605. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Boros J. , Freibauer E. , Kornis Ö. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Perl Gy. , Sasvári Géza
Füzet:	1899/április, 159 - 161. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Beírt kör, Hozzáírt körök, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/november: 605. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1 $^{\circ}$ . $A O O'$ háromszögből:

\begin{matrix} d^{2} = {\bar{A O'}}^{2} + {\bar{A O}}^{2} - 2 A O' \cdot A O cos O' A O, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} {\bar{A O'}}^{2} = \frac{r^{2}}{sin^{2} \frac{α}{2}} = \frac{s - a}{s} b c \end{matrix}

\begin{matrix} A O = R \end{matrix}

\begin{matrix} O' A O ∠ = \frac{α}{2} - 90^{\circ} + γ = \frac{γ - β}{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} d^{2} = R^{2} + \frac{s - a}{s} b c - 2 R \frac{r}{sin \frac{α}{2}} cos \frac{γ - β}{2}, \end{matrix}

de (695. feladat)

\begin{matrix} 2 \frac{R r}{sin \frac{α}{2}} cos \frac{γ - β}{2} = \frac{b c}{2} (1 + \frac{s - a}{s}) \end{matrix}

s így

\begin{matrix} d^{2} = R^{2} + \frac{s - a}{s} b c - \frac{b c}{2} - \frac{s - a}{2 s} b c \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} d^{2} = R^{2} - \frac{a b c}{2 s} = R^{2} - 2 \frac{a b c \cdot t}{4 t \cdot s} = R^{2} - 2 R r . \end{matrix}

^{\circ}

A O O_{1}

háromszögből:

\begin{matrix} d_{1}^{2} = {\bar{A O_{1}}}^{2} + R^{2} - 2 R \cdot A O_{1} cos \frac{γ - β}{2} . \end{matrix}

de (694. feladat)

\begin{matrix} {\bar{A O_{1}}}^{2} = \frac{s}{s - a} b c \end{matrix}

és

\begin{matrix} 2 R \cdot A O_{1} cos \frac{γ - β}{2} = \frac{b c}{2} (1 + \frac{s}{s - a}) \end{matrix}

s így

\begin{matrix} d_{1}^{2} = R^{2} + \frac{s}{s - a} b c - \frac{b c}{2} - \frac{b c s}{2 (s - a)} = R^{2} + \frac{a b c}{2 (s - a)} = R^{2} + 2 \frac{a b c}{4 t} \cdot \frac{2 t}{s - a} = R^{2} + 3 R r_{1} . \end{matrix}

^{\circ}

\begin{matrix} d^{2} + d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + d_{3}^{2} = 4 R^{2} + 2 R (r_{1} + r_{2} + r_{3} - r) . \end{matrix}

De (503. feladat)

\begin{matrix} r_{1} + r_{2} + r_{3} - r = 4 R \end{matrix}

s így

\begin{matrix} d^{2} + d_{1}^{2} + d_{2}^{2} + d_{3}^{2} = 12 R^{2} . \end{matrix}

(Sasvári Géza.)

A feladatot még megoldották: Boros J., Freibauer E., Kornis Ö., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Perl Gy.