Feladat: 601. matematika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Filkorn J. ,  Freibauer E. ,  Glass M. ,  Juvancz I. ,  Kárf J. ,  Kohn B. ,  Kornis Ödön ,  Krausz B. ,  Krisztián Gy. ,  Neumann J. ,  Obláth R. ,  Pollák N. ,  Porkoláb J. ,  Sasvári G. ,  Sasvári J. ,  Spitzer Ö. ,  Tinyó J. ,  Weisz J. 
Füzet: 1899/március, 150. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Sokszögek szerkesztése, Szöveges feladatok, Téglalapok, Egyéb sokszögek geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Rombuszok, Alakzatok hasonlósága, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1898/november: 601. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Ha a derékszögű négyszög oldalai a,b; a kérdéses hatszög egyik oldala x, akkor

(a-x)2+(b-x)2=x2,
mely egyenletből
x=a+b±2ab.
A négyzetgyöknek csakis a negatív értéke jöhet tekintetbe, mert x<a+b. A feladat akkor oldható meg, ha
a+b-2ab<aésa+b-2ab<b,
miből
b<2aésa<2b
vagy
ba<2ésba>12.
 
II. Megoldás. Legyen az adott téglalap ABCD. A feladat értelmében AB,BC,CD és DA oldalakon oly E,F,G és H pontok keresendők, hogy EB=BF=FG=DG. Az E és H pontokat a következő szerkesztéssel nyerjük: A-ből AD sugárral kört rajzolunk, mely AB-t D1-ben metszi. D1-ből a D1A sugárral vont kör BD átlót A1-ben metszi. AD1A1 háromszöget egészítsük ki rhombussá, melynek negyedik csúcsa B1. B1DAB oldalt E-ben metszi s az ebből a pontból AB1-gyel vont párhuzamos AD oldalt H-ban metszi. E és H pontok adják a keresett 2 pontot. Ugyanis hasonlósági tétel alapján felírhatjuk:
AB1EH=ADHD=B1DED=B1A1EB
s így
EH=HD=EB.
 
(Kornis Ödön.)

 
A feladatot még megoldották: Filkorn J., Freibauer E., Glass M., Juvancz I., Kárf J., Kohn B., Krausz B., Krisztián Gy., Obláth R., Neumann J., Pollák N., Porkoláb J., Sasvári G., Sasvári J., Spitzer Ö., Tinyó J., Weisz J.