Kezdőlap


Feladat:	593. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Boros J. , Csete A. , Dolowschiák M. , Filkorn J. , Goldberger M. , Juvancz Irén , Kárf J. , Kornis Ö. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Mandel M. , Miliczer L. , Obláth R. , Petrogalli G. , Pollák N. , Porkoláb J. , Prakatur T. , Romsauer Etta , Róth D. , Sasvári G. , Sasvári J. , Schieb Á. , Spitzer Ö. , Weisz J.
Füzet:	1899/június, 174 - 175. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mértani sorozat, Szimmetrikus egyenletek, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, A komplex szám algebrai alakja, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/október: 593. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat értelmében

\begin{matrix} a_{1} (1 + q^{2} + q^{4}) = 63 és a_{1} (q + q^{3}) = 30 \end{matrix}

e két egyenletből

a_{1}

-et kiküszöbölve, lesz

\begin{matrix} 30 q^{4} - 63 q^{3} + 30 q^{2} - 63 q + 30 = 0 \end{matrix}

az egyenletnek minden tagját

3 q^{2}

-tel osztva:

\begin{matrix} 10 (q^{2} + \frac{1}{q^{2}}) - 21 (q + \frac{1}{q}) + 10 = 0 . \end{matrix}

(1)

Legyen

\begin{matrix} q + \frac{1}{q} = y, \end{matrix}

(2)

akkor

\begin{matrix} q^{2} + \frac{1}{q^{2}} = y^{2} - 2 \end{matrix}

s így (1)-ből lesz

\begin{matrix} 10 y^{2} - 21 y - 10 = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} y_{1} = \frac{5}{2} és y_{2} = - \frac{2}{5} . \end{matrix}

Ezen értékeket (2)-be helyettesítve:

\begin{matrix} q_{1} = 2, q_{2} = \frac{1}{2}, q_{3} = \frac{- 1 + 2 i \sqrt[]{6}}{5}, q_{4} = - \frac{1 + 2 i \sqrt[]{6}}{5} . \end{matrix}

A valós tagokból álló haladványok tehát

\begin{matrix} 3, 6, 12, 24, 48 és 48, 24, 12, 6, 3. \end{matrix}

(Juvancz Irén, Nyíregyháza.)

A feladatot még megoldották: Boros J., Csete A., Dolowschiák M., Filkorn J., Goldberger M., Kárf J., Kornis Ö., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Mandel M., Miliczer L., Obláth R., Petrogalli G., Pollák N., Porkoláb J., Prakatur T., Romsauer Etta., Róth D., Sasvári G., Sasvári J., Schieb Á., Spitzer Ö., Weisz J.