Kezdőlap


Feladat:	587. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Freibauer E. , Kornis Ödön , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Sasvári G. , Spitzer Ö. , Weisz J.
Füzet:	1899/március, 147. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek hasonlósága, Pont körre vonatkozó hatványa, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/október: 587. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$A A' B C$ oldalt $A'', B B' A C$ oldalt $B''$ és $C C' B A$ oldalt $C''$ pontban metszi. Minthogy $B O A''$ és $B O A', C O B''$ és $C O B'$ , végül $A O C''$ és $A O C'$ háromszögek hasonlók, azért

\begin{matrix} {\bar{O B}}^{2} = r^{2} = O A'' \cdot O A' \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{O C}}^{2} = r^{2} = O B'' \cdot O B' \end{matrix}

\begin{matrix} {\bar{O A}}^{2} = r^{2} = O C'' \cdot O C' \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} r (r + O A'') = O A'' \cdot A A' \end{matrix}

\begin{matrix} r (r + O B'') = O B'' \cdot B B' \end{matrix}

\begin{matrix} r (r + O C'') = O C'' \cdot O C' \end{matrix}

következőleg

\begin{matrix} \frac{1}{A A'} + \frac{1}{B B'} + \frac{1}{C C'} = \frac{1}{r} (\frac{O A''}{r + O A''} + \frac{O B''}{r + O B''} + \frac{O C''}{r + O C''}) . \end{matrix}

De a záró jelben álló kifejezés

1

(lásd: K.M.L.4. évf. 1. sz.), tehát:

\begin{matrix} \frac{1}{A A' +} \frac{1}{B B'} + \frac{1}{C C'} = \frac{1}{r} . \end{matrix}

(Kornis Ödön.)

A feladatot még megoldották: Freibauer E., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Sasvári G., Spitzer Ö., Weisz J.