Kezdőlap


Feladat:	583. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1900/február, 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összefüggések binomiális együtthatókra, Szorzat, hatványozás azonosságai, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/október: 583. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

II. Megoldás.^{$^{*}$} Tudvalevőleg tetszőleges $t$ és positív egész $n$ és $s$ mellett, ha $| x | < 1$

\begin{matrix} {(1 + x)}^{n + t} = (\binom{n + t}{0}) + (\binom{n + t}{1}) x + (\binom{n + t}{2}) x^{2} + ... + \end{matrix}

\begin{matrix} + (\binom{n + t}{n}) x^{n} + (\binom{n + t}{n + 1}) + x^{n + 1} + ... + (\binom{n + t}{n + s}) x^{n + s} + ... \end{matrix}

\begin{matrix} {(1 + x)}^{n + t - 1} = (\binom{n + t - 1}{0}) + (\binom{n + t - 1}{1}) x + (\binom{n + t - 1}{2}) x^{2} + ... + \end{matrix}

\begin{matrix} + (\binom{n + t - 1}{n}) x^{n} + (\binom{n + t - 1}{n + 1}) x^{n + 1} + ... + (\binom{n + t - 1}{n + s}) x^{n + s} + ... \end{matrix}

\begin{matrix} ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... \end{matrix}

\begin{matrix} {(1 + x)}^{t} = (\binom{t}{0}) + (\binom{t}{1}) x + (\binom{t}{2}) x^{2} + ... + \end{matrix}

\begin{matrix} + (\binom{t}{n}) x^{n} + (\binom{t}{n + 1}) x^{n + 1} + ... + (\binom{t}{n + s}) x^{n + s} + ... \end{matrix}

Szorozzuk a jobb és baloldalt sorban

(\binom{n}{0}), - (\binom{n}{1}), (\binom{n}{2}), ..., {(- 1)}^{n} (\binom{n}{n})

-tel; akkor a baloldal

{(1 + x)}^{t}

kiemelésével ily alakot vesz fel

\begin{matrix} {(1 + x)}^{t} [(\binom{n}{0}) {(1 + x)}^{n} - (\binom{n}{1}) (1 + x^{n - 1} + (\binom{n}{2}) (1 + x^{n - 2} + ... + {(- 1)}^{n} (\binom{n}{n})] = \end{matrix}

\begin{matrix} = {(1 + x)}^{t} {[(1 + x) - 1]}^{n} = {(1 + x)}^{t} \cdot x^{n} (0 + 0 \cdot x + 0 \cdot x^{2} + ... + \end{matrix}

\begin{matrix} + (\binom{t}{0}) x^{n} + (\binom{t}{1}) x^{n + 1} + (\binom{t}{2}) x^{n + 2} + ... + (\binom{t}{s}) x^{n + s} + ... \end{matrix}

Minthogy a szorzás után is a bal- és jobboldalon az

x

egyforma hatványai mellett levő együtthatóknak egyenlőknek kell lenniök, azért a következő formulasort nyerjük, a melyben a bebizonyítandó is helyet foglal:

\begin{matrix} 0 = (\binom{n}{0}) (\binom{n + t}{0}) - (\binom{n}{1}) (\binom{n + t - 1}{0}) + (\binom{n}{2}) (\binom{n + t - 2}{0}) + ... + {(- 1)}^{n} (\binom{n}{n}) (\binom{t}{0}) \end{matrix}

\begin{matrix} 0 = (\binom{n}{0}) (\binom{n + t}{1}) - (\binom{n}{1}) (\binom{n + t - 1}{1}) + (\binom{n}{2}) (\binom{n + t - 2}{1}) + ... + {(- 1)}^{n} (\binom{n}{n}) (\binom{t}{1}) \end{matrix}

\begin{matrix} ... ... ... ... ... ... ... ... ... \end{matrix}

\begin{matrix} 0 = (\binom{n}{0}) (\binom{n + t}{n - 1}) - (\binom{n}{1}) (\binom{n + t - 1}{n - 1}) + (\binom{n}{2}) (\binom{n + t - 2}{n - 1}) + ... + {(- 1)}^{n} (\binom{n}{n}) (\binom{t}{n - 1}) \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} 1 = (\binom{t}{0}) = (\binom{n}{0}) (\binom{n + t}{n}) - (\binom{n}{1}) (\binom{n + t - 1}{n}) + (\binom{n + t - 2}{n}) + ... + {(- 1)}^{n} (\binom{n}{n}) (\binom{t}{n}) \end{matrix}

azonfelül

\begin{matrix} (\binom{t}{1}) = (\binom{n}{0}) (\binom{n + t}{n + 1}) - (\binom{n}{1}) (\binom{n + t - 1}{n + 1}) + (\binom{n}{2}) (\binom{n + t - 2}{n + 1}) + ... + {(- 1)}^{n} (\binom{n}{n}) (\binom{t}{n + 1}) \end{matrix}

\begin{matrix} ... ... ... ... ... ... ... ... ... \end{matrix}

\begin{matrix} (\binom{t}{s}) = (\binom{n}{0}) (\binom{n + t}{n + s}) - (\binom{n}{1}) (\binom{n + t - 1}{n + s}) + (\binom{n}{2}) (\binom{n + t - 2}{n + s}) + ... + {(- 1)}^{n} (\binom{n}{n}) (\binom{t}{n + s}) . \end{matrix}

Látjuk, hogy e megoldás a feladatnak általánosítását is tartalmazza.

Dr. Lóky Béla, kegyesrendi tanár, Kolozsvár.

^{$^{*}$}+ E faladatnak egy másik megoldását lásd: K.M.L.VII.73.l.