Kezdőlap


Feladat:	582. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Freibauer E. , Kárf J. , Kornis Ö. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gyula , Perl Gy. , Weisz J.
Füzet:	1898/december, 74 - 75. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú függvények, Függvényvizsgálat, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/október: 582. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A megadott kifejezés így is írható:

\begin{matrix} y = {[x - (4 a - 1)]}^{2} - (a^{2} - 6 a + 8) \end{matrix}

y

akkor lesz positív

x

-nek minden értéke mellett, ha

\begin{matrix} a^{2} - 6 a + 8 ≦ 0, \end{matrix}

vagyis ha

\begin{matrix} {(a - 3)}^{3} - 1 ≦ 0, \end{matrix}

e feltétel pedig akkor van kielégítve, ha

a ≧ 2

és

a ≦ 4

, tehát ha

\begin{matrix} 4 ≧ a ≧ 2. \end{matrix}

2. A feltétel alapján:

\begin{matrix} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 24 \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 8 a - 2 \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} x_{1} x_{2} = 15 a^{2} - 2 a - 7. \end{matrix}

(3)

Ha (2)-nek négyzetéből levonjuk (1)-et és azután tekintetbe vesszük (3)-at, akkor nyerjük, hogy

\begin{matrix} 17 a^{2} - 14 a - 3 = 0. \end{matrix}

miből

\begin{matrix} a_{1} = 1, a_{2} = - \frac{3}{17} . \end{matrix}

(Lukhaub Gyula.)

A feladatot még megoldották: Freibauer E., Kárf J., Kornis Ö., Krisztián Gy., Perl Gy., Weisz J.