Kezdőlap


Feladat:	574. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Krausz B. , Lukhaub Gy. , Prohászka János
Füzet:	1899/december, 80 - 81. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kör egyenlete, Ellipszis egyenlete, Kúpszeletek érintői, Egyenesek egyenlete, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/szeptember: 574. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$x_{1}$ -nek értékét az ellipsis egyenletébe téve, lesz

\begin{matrix} 25 \cdot 4, 8^{2} + 36 y_{1}^{2} = 900, \end{matrix}

miből

y_{1}

-nek positív értéke:

y_{1} = 3

. Ennélfogva az

M

pontban rajzolt érintő egyenlete:

\begin{matrix} 25 \cdot 4,8 x + 36 \cdot 3 y = 900 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 120 x + 108 y = 900. \end{matrix}

Keressük ezen egyenesnek s az ordinátatengely metszési pontjának coordinátáit. Miután eme pont abscissája

x_{2} = 0

, azért

\begin{matrix} 108 y_{2} = 900, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} y_{2} = \frac{25}{3} . \end{matrix}

N

pont coordinátái tehát:

x_{2} = 0, y_{2} = \frac{25}{3}

. Az

M

és

N

pontokon átmenő kör középpontja az ordinata tengelyen van; e pont abscissája tehát

0

; ha ordinátája

q

, akkor e kör egyenlete:

\begin{matrix} x^{2} + {(y - q)}^{2} = r^{2} \end{matrix}

(1)

Hogy

q

-t és

r

-et meghatározhassuk, tegyük

x

és

y

helyébe az

M

és

N

pontok coordinátáit; akkor

\begin{matrix} 4, 8^{2} + {(3 - q)}^{2} = r^{3} \end{matrix}

és

\begin{matrix} {(\frac{25}{3} - q)}^{2} = r^{2} \end{matrix}

mely egyenletekből

q = \frac{263}{75}

és

r = \frac{362}{75}

. Eme értékeket (1)-be téve:

\begin{matrix} x^{2} + {(y - \frac{263}{75})}^{2} = {(\frac{362}{75})}^{2} . \end{matrix}

keressük végre ama pontoknak coordinátáit, melyekben eme kör az abscissa tengelyt metszi; miután e pontra nézve

y = 0

, azért

\begin{matrix} x = \pm \sqrt[]{{(\frac{362}{75})}^{2} - {(\frac{263}{75})}^{2}} = \pm \sqrt[]{\frac{362 + 263}{75} \cdot \frac{362 - 263}{75}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \pm \sqrt[]{11} = \pm 3,31 ... \end{matrix}

(Prohászka János, Prága.)

A feladatot még megoldották: Krausz B., Lukhaub Gy.