Kezdőlap


Feladat:	572. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Freibauer E. , Kiss A. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Weisz J.
Füzet:	1899/március, 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Trapézok, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/szeptember: 572. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A B C D$ az adott trapéz, $A B = a, D C = c, D A B ∢ = A, D C B ∢ = C, A D = d, C B = b$ . $C$ -ből az $A D$ oldallal rajzolt párhuzamos $A B$ -t $E$ -ben metszi. Az $E C B$ háromszögben $E B = a - c = m, E C B ∢ = γ - α = E, C E B ∢ = α$ és $E B C ∢ = 180^{\circ} - γ$ . E háromszögre a Mollweide-féle képletet alkalmazva:

\begin{matrix} \frac{d - b}{a - c} = \frac{sin \frac{1}{2} (180^{\circ} - γ - α)}{cos E} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{d - b}{a - c} = \frac{cos \frac{γ + α}{2}}{cos E}; \end{matrix}

ezen egyenletből kiszámítjuk

(α + γ)

-t s minthogy

(α - γ)

ismeretes,

α

és

γ

meghatározható. -Ezután a

C E B

háromszögből meghatározzuk

d

-t;

C

-ből

A B

-re merőlegest rajzolva, megkapjuk a trapéz

C F

magasságát, melyet a

C E F

háromszögből számítunk ki; de a trapéz területe:

\begin{matrix} t = \frac{a + c}{2} \cdot C F \end{matrix}

s így kiszámítható

a + c

. A megadott értékeket helyettesítve, kapjuk, hogy

a + c = 34

s miután

a - c = 14

, azért

a = 24

cm és

c = 10

cm.

A feladatot megoldották: Freibauer E., Kiss A., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Weisz J.