Kezdőlap


Feladat:	567. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Freibauer E. , Kohn B. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Spitzer Ödön , Weisz Á. , Weisz J.
Füzet:	1899/február, 111 - 112. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Háromszögek szerkesztése, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/szeptember: 567. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$α$ ) Tekintsük a feladatot megoldottnak. Hosszabbítsuk meg $A B$ -t s $A E$ -t, úgy, hogy $A H = b + a$ és $A L = m_{a} + m_{b}$ legyen.

Minthogy az

A B C

háromszög kettős területe:

\begin{matrix} m_{a} \cdot a = m_{b} \cdot b, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} a : b = m_{b} : m_{a} \end{matrix}

vagy, miután

a = B H, b = A B, m_{a} = A E, m_{b} = E L

, azért:

\begin{matrix} B H : A B = E L : A E, \end{matrix}

mely aránylat mutatja, hogy az

A B E ▵ \sim A H L ▵

s így

H L ∥ B E

.
Ennélfogva az

A H L

háromszög megszerkeszthető. A

B C F

egyenlőszárú háromszögben

C B F ∢ = B F C ∢

, s minthogy

B F H ∢ = F B C ∢

, azért

B F

felezi

H F C

szöget.
Ennek alapján a szerkesztés a következő: Megszerkesztjük az

A H F

háromszöget, melyben

A H = b + a

és

A L = m_{a} + m_{b}

; ezután megrajzoljuk az

A F H

szögfelezőjét, mely

A H

-t

B

-ben metszi.

B

-ből párhuzamost rajzolunk

H F

-fel, miáltal megkapjuk a háromszög harmadik csúcsát

C

-t.

β

) Megszerkesztjük az

A H L

derékszögű háromszöget, melynek befogói

A H = b - a

és

A L = m_{a} - m_{b}

; az

L H B

szög felezője megadja a keresett

C

pontot, melyből

H L

-lel párhuzamost rajzolva, megkapjuk

B

-t. A szerkesztés helyességét épp úgy bizonyítjuk, mint föntebb.

(Spitzer Ödön.)

A feladatot még megoldották: Freibauer E., Krausz B., Kohn B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Weisz Á., Weisz J.