Feladat:	565. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Freibauer E. ,  Kárf J. ,  Kiss A. ,  Kohn B. ,  Krausz B. ,  Krisztián Gy. ,  Lukhaub Gy. ,  Miletits E. ,  Perl Gy. ,  Spitzer Ö. ,  Weisz Á. ,  Weisz J. ,  Wittmann Andor
Füzet:	1899/január, 96. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Trapézok, Egyenes, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/szeptember: 565. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Az $MNPQ$ trapez területe: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\frac{QM+PN}{2}\cdot MN\mathrm{.}}\end{array}$ E kifejezésben $MN$ állandó s így csak azt kell bebizonyítanunk, hogy $QM+PN$ is állandó. Minthogy a megadott háromszög egyenlőszárú, azért az $ABE\mathrm{,}QBM$ és $PCN$ háromszögek hasonlók is így $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{BM}{BE}=\frac{QM}{AE}\text{és}\frac{CN}{CE}=\frac{PN}{AE}\mathrm{,}}\end{array}$ e két egyenletet összeadva, s tekintetbe véve, hogy $BE=CE$, $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{BM+CN}{BE}=\frac{QM+PN}{AE}\mathrm{.}}\end{array}$ Minthogy pedig $BE\mathrm{,}AE\mathrm{,}BM+CN=BC-MN$ állandók, azért $AM+PN$ is állandó. A trapéz területe még így is írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle t=DF\cdot MN}\end{array}$ s miután $t$ és $MN$ állandó, azért $DF$ is állandó; de $DF$ merőleges $BC$-re, miért is a $D$ pont mértani helye a $BC$ alappal párhuzamos egyenes.   (Wittmann Andor, Győr.)   A feladatot még megoldották: Freibauer E., Kárf J., Kiss A., Kohn B., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy. Miletits E., Perl Gy., Spitzer Ö., Weisz Á., Weisz J.