Kezdőlap


Feladat:	562. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Filkorn Jenő , Freibauer E. , Goldziher K. , Kármán T. , Kerekes T. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Pálfy F. , Prohászka J. , Sasvári G.
Füzet:	1899/október, 31 - 33. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Törtfüggvények, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Függvényvizsgálat, Függvények ábrázolása, Függvény határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/szeptember: 562. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Határozzuk meg a függvény értékét, ha $x = \pm \infty$ . Számlálót s nevezőt $x^{2}$ -tel osztva:

\begin{matrix} y = \frac{1 - \frac{4}{x^{2}}}{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}} \end{matrix}

Látjuk, hogy

y = 1

, ha

x = \pm \infty

.
Keressük

x

-nek ama értékeit, melyek mellett

y = 0

; a függvény akkor

0

, ha a számláló

0

;

\begin{matrix} x^{2} - 4 = 0 \end{matrix}

egyenletnek gyökei:

x_{1} = 2, x_{2} = - 2

.
A függvény végtelen nagy, ha a nevező

0

;

\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 3 = 0 \end{matrix}

egyenletnek gyökei:

x_{1} = 1, x_{2} = - 3

.
Hogy a függvény maximumát meghatározhassuk, kifejezzük

x

-et

y

által. A nevezőt eltávolítva s rendezve:

\begin{matrix} x^{2} (y - 1) + 2 y x - 3 y + 4 = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{- y \pm \sqrt[]{4 y^{2} - 7 y + 4}}{y - 1}, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x = \frac{- y \pm \sqrt[]{{(2 y - \frac{7}{4})}^{2} + \frac{15}{16}}}{y - 1} . \end{matrix}

Látjuk, hogy

x, y

-nak minden értéke mellett valós, tehát

y

változhatik

- \infty

-től

+ \infty

-ig.

Hogy a függvényt megrajzolhassuk, még néhány értékét határozzuk meg; így ha

x

helyébe

- 6, - 5, - 4, - 1, 0, 3, 4, 5, 6

-ot teszünk, akkor

y

-nak értékei:

1 \frac{11}{21}, 1 \frac{3}{4}, 2 \frac{2}{5}, \frac{3}{4}, 1 \frac{1}{3}, \frac{5}{12}, \frac{4}{7}, \frac{21}{32}, \frac{32}{45} .

A változóknak egymáshoz tartozó értékei tehát a következők:

\begin{matrix} x & -\infty & ... & -6, & -5, & -4, & -3\frac{1}{2}, & -3, & -2\frac{1}{2}, & -2, & -1, & 0, & \frac{1}{2} & 1, & 1\frac{1}{2}, \\ y & 1, & 1\frac{11}{21}, & 1\frac{3}{4}, & 2\frac{2}{3}, & 3\frac{2}{3}, & \pm \infty, & -1\frac{2}{7}, & 0, & \frac{3}{4}, & 1\frac{1}{3}, & 2\frac{1}{7}, & \pm \infty, & - \frac{7}{9} \end{matrix}

\begin{matrix} \begin{matrix} 2, & 3, & 4, & 5, & 6, & ... & \pm \infty \\ 0, & \frac{5}{12}, & \frac{4}{7}, & \frac{21}{32}, & \frac{32}{45} & 1 \end{matrix} \end{matrix}

E táblázat mutatja, hogy a függvény értéke

1

, ha

x = - \infty

; tehát az

y = 1

egyenes asymptotája a görbének; ha

x, - 3

-ig nő,

y

nő

\infty

-ig; innen átugrik

- \infty

-be; az

x = - 3

egyenes asymptotája a görbének. Ha

x

tovább nő

1

-ig,

y

nő

\infty

-ig; ezután ismét

- \infty

-be ugrik át; az

x = 1

egyenes asymptotája a görbének; ezután pedig

x

-nek növekedésével

y

nő

1

-ig, úgy, hogy

y = 1

egyenes asymptotája a görbének.

(Filkorn Jenő, Nyitra.)

A feladatot megoldották: Freibauer E., Goldziher K., Kármán T., Kerekes T., Krausz B., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Pálfy F., Prohászka J., Sasvári G.