Kezdőlap


Feladat:	562. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Freibauer E. , Goldziher K. , Kármán T.
Füzet:	1899/február, 104 - 105. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Törtfüggvények, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Függvényvizsgálat, Függvények ábrázolása, Függvény határértéke, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/szeptember: 562. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Határozzuk meg a függvény értékét, ha $x = \pm \infty$ . Számlálót és nevezőt $x^{2}$ -tel osztva:

\begin{matrix} y = \frac{1 - \frac{6}{x} + \frac{8}{x^{2}}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}} \end{matrix}

Látjuk, hogy

y = 1

, ha

x = \pm \infty

.
Keressük

x

-nek ama értékeit, melyek mellett

y = 0

; a függvény akkor

0

, ha a számláló

0

\begin{matrix} x^{2} - 6 x + 8 = 0 \end{matrix}

egyenletnek gyökei:

x_{1} = 2, x_{2} = 4

.
A függvény végtelen nagy, ha a nevező

0

\begin{matrix} x^{2} - 2 x + 1 = 0. \end{matrix}

Ezen egyenlet gyökei:

x_{1} = x_{2} = 1

.
Hogy a függvény maximumát vagy minimumát meghatározhassuk, kifejezzük

x

-et

y

által. A nevezőt eltávolítva s rendezve:

\begin{matrix} x^{2} (1 - y) - 2 x (3 - y) + 8 - y = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{3 - y \pm \sqrt[]{3 y + 1}}{1 - y} \end{matrix}

(1)

x

akkor valós, ha

\begin{matrix} 3 y + 1 ≧ 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} y ≧ - \frac{1}{3} \end{matrix}

y

tehát

- \frac{1}{3}

-tól

+ \infty

-ig minden értéket felvehet; a függvénynek tehát minimuma van, mely

- \frac{1}{3}

;

y

-nak ezen értékét (1)-be helyettesítve, kapjuk, hogy

x = \frac{5}{2}

.
Hogy a függvényt megrajzolhassuk, még néhány értékét határozzuk meg; így ha

x

helyébe

- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, \frac{1}{2}, 3,5, 6

-ot teszünk, akkor

y

értékei:

1 \frac{3}{4}, 1 \frac{23}{25}, 2 \frac{3}{16}, 2 \frac{2}{3}, 3 \frac{3}{4}, 8, 21, - \frac{1}{4}, \frac{3}{16}, \frac{8}{25}

.
A változóknak egymáshoz tartozó értékei tehát a következők:

\begin{matrix} x| & -\infty, & ... & -5, & -4, & -3, & -2, & -1, & 0, & \frac{1}{2}, & 1, & 2, & 2\frac{1}{2}, & 3, & 4, & 5, & ... & +\infty \\ y| & 1, & ... & 1\frac{3}{4} & 1\frac{23}{25} & 2\frac{3}{16}, & 2\frac{2}{3}, & 3\frac{3}{4}, & 8, & 21, & +\infty, & 0, & -\frac{1}{3}, & -\frac{1}{4}, & 0, & \frac{3}{16}, & ... & 1 \end{matrix}

E táblázat mutatja, hogy a függvény értéke

1

, ha

x = - \infty

; tehát az

y = 1

egyenes asymptotája a görbének; ha

x

1

-ig nő,

y

nő

\infty

-ig; az

x = 1

egyenes tehát asymptotája a görbének; ha

x

tovább nő

2 \frac{1}{2}

-ig, a függvény fogy

- \frac{1}{3}

-ig, a minimális értékig; ezután pedig

x

-nek a növekedésével,

y

nő

1

-ig, úgy, hogy az

y = 1

egyenes ismét asymptotája a görbének.

A feladatot megoldották: Goldziher K., Kármán T., Freibauer E.