Kezdőlap


Feladat:	561. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Krausz B. , Krausz J. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Spitzer Ö. , Weisz József
Füzet:	1899/március, 135 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Trigonometrikus egyenletek, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/szeptember: 561. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Az egyenlet gyökei valósak, ha

\begin{matrix} 16 - 4 (2 cos α - 1) \cdot 2 \cdot (2 cos α + 1) > 0, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 3 > 4 cos^{2} α, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{3}}{2} ≦ cos α ≦ \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

(1)

Minthogy

α < 90^{\circ}

, azért

cos α > 0

, s így az (1) alatti egyenlőtlenség így írható

\begin{matrix} 0 < cos α ≦ \frac{\sqrt[]{3}}{2} \end{matrix}

vagy, minthogy

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{3}}{2} = cos 30^{\circ}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} 0 < cos α ≦ c o s 30^{\circ}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} 90^{\circ} > α ≧ 30^{\circ} . \end{matrix}

2^{\circ}

. A gyökök szorzata

\begin{matrix} \frac{2 (2 cos α + 1)}{2 cos α - 1}, \end{matrix}

akkor positív, ha a nevező positív, tehát ha

\begin{matrix} cos α > \frac{1}{2}, \end{matrix}

vagyis ha

\begin{matrix} α < 60^{\circ}, \end{matrix}

ekkor a gyökök összege

\begin{matrix} \frac{4}{2 cos α - 1} \end{matrix}

positív s így mindkét gyök positív.
Ha ellenben

α > 60^{\circ}

, a gyökök szorzata negatív, a gyökök tehát ellenkező előjelűek. Vagyis
a két gyök positív, ha

\begin{matrix} 30^{\circ} ≦ α < 60^{\circ}, \end{matrix}

a két gyök ellenkező előjelű, ha

\begin{matrix} 60^{\circ} < α < 90^{\circ} . \end{matrix}

3^{\circ}

\begin{matrix} \frac{4 cos α + 2}{2 α - 1} = 2 \cdot \frac{2 sin α cos α + sin α}{2 sin α cos α - sin α} = 2 \frac{sin 2 α + sin α}{sin 2 α - sin α} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{4 sin \frac{3}{2} cos \frac{1}{2} α}{2 cos \frac{3}{2} α sin \frac{1}{2} α} = 2 \cdot tg \frac{3}{2} α \cdot ctg \frac{1}{2} α . \end{matrix}

(Weisz József.)

A feladatot még megoldották: Krausz B., Krausz J., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Spitzer Ö.