Kezdőlap


Feladat:	560. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barabás S. , Devecis M. , Dolowschiák M. , Freibauer E. , Kornis Ö. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gyula , Perl Gy. , Rehberger Z. , Spitzer Ö. , Tinyó J. , Weisz J. , Zavatzky A.
Füzet:	1898/december, 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, A komplex szám algebrai alakja, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/szeptember: 560. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az (1) egyenlet gyökei:

\begin{matrix} x = - 1 \pm \sqrt[]{1 - q} . \end{matrix}

(3)

Ezen gyökök valósak és külömbözők, ha

q < 1

, ellenben complexek, ha

q > 1

.
A (2) egyenlet

x

fogyó hatványai szerint rendezve:

\begin{matrix} (3 - q) x^{2} + 2 (1 + q) x + q^{2} - q + 2 = 0, \end{matrix}

mely egyenlet discriminansa:

\begin{matrix} 4 (1 + 2 q + q^{2}) - 4 (3 - q) (q^{2} - q + 2) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 4 (q^{3} - 3 q^{2} + 7 q - 5) = 4 (q^{3} - 3 q^{2} + 3 q - 1 + 4 q - 4) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 4 [{(q - 1)}^{3} + 4 (q - 1)] . \end{matrix}

Látjuk, hogy a discrimináns akkor positív, ha

q > 1

; ez esetben a (2) egyenletnek gyökei valósak, míg (1)-nek a gyökei complexek; ellenben ha

q < 1

, (2)-nek a gyökei complexek és (1)-nek a gyökei valósak.

(Lukhaub Gyula, Szeged.)

A feladatot még megoldották: Barabás S., Devecis M., Dolowschiák M., Freibauer E., Kornis Ö., Krisztián Gy., Perl Gy., Rehberger Z., Spitzer Ö., Tinyó J., Weisz J., Zavatzky A.