Feladat:	558. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Devecis M. ,  Dolowschiák M. ,  Eisenberg B. ,  Filkorn J. ,  Freibauer E. ,  Goldberger M. ,  Kohn B. (N.-Kanizsa) ,  Kornis Ö. ,  Krausz Béla ,  Krisztián Gy. ,  Lukhaub Gy. ,  Miletits E. ,  Obláth R. ,  Perl Gy. ,  Spitzer Ö. ,  Tinyó J. ,  Weisz Á. ,  Wittmann A.
Füzet:	1898/december, 71. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Polinomok szorzattá alakítása, Nevezetes azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/szeptember: 558. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle n^{12}-n^8-n^4+1=n^8\left(n^4-1\right)-\left(n^4-1\right)=\left(n^4-1\right)\left(n^8-1\right)=}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle =\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)\left(n^4+1\right)\left(n^4-1\right)=\left(n^4+1\right)\left(n^4-1\right)\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)=}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle =\left(n^4+1\right)\left(n^2+1\right)\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n^2+1\right)\left(n+1\right)\left(n-1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Minthogy $n$ páratlan szám, azért a $7$ tényező mindegyike páros szám s így osztható $2$-vel; az egész szorzat tehát osztható $2^7$-val. De $n-1$ és $n+1$ két egymásra következő páros szám s így egyike osztható $4$-gyel; $n-1$ és $n+1$ tényezők mindegyike kifejezésünkben kétszer fordul elő s így két tényező osztható $4$-gyel, miért is a megadott kifejezés $2^9=512$-vel osztható.   (Krausz Béla, Pécs.)   A feladatot még megoldották: Devecis M., Dolowschiák M., Eisenberg B., Filkorn J., Freibauer E., Goldberger M., Kohn B. (N.-Kanizsa), Kornis Ö., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Miletits E., Obláth R., Perl Gy., Spitzer Ö., Tinyó J., Weisz Á., Wittmann A.