Kezdőlap


Feladat:	554. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bobál S. , Freibauer E. , Kiss A. , Krisztián György , Lukhaub Gy. , Prohászka J. , Weisz Á. , Weisz J.
Füzet:	1899/január, 92 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek szerkesztése, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Magasságvonal, Súlyvonal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/június: 554. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . Legyen $A B C$ a keresett háromszög. Mivel $m$ felezőpontja és $A C$ felezőpontja $(B_{1})$ egy a $B C$ oldallal párhuzamos egyenesen feküsznek, azért a szerkesztés a következő:
$a$ -tól $\frac{m}{2}$ és $m$ távolságban $a$ -val párhuzamos $f$ és $g$ egyeneseket rajzolunk.
Ezután $a$ -nak $B$ végpontjából $k$ -val, mint küllővel kört rajzolunk, mely $f$ -et $B_{1}$ és $B_{1}'$ pontokban metszi. $C B_{1}$ és $C B_{1}'$ meghosszabbításai $g$ -t $A$ és $A'$ pontokban metszik.
$A B C$ és $A' B C$ a keresett háromszögek.
$2^{\circ}$ . Ha $C B B_{1} ∢ = ε$ , akkor

\begin{matrix} a m = 2 a k sin ε, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} sin ε = \frac{m}{2 k} . \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} cos ε = \sqrt[]{1 - sin^{2} ε} = \frac{1}{2 k} \sqrt[]{4 k^{2} - m^{2}} \end{matrix}

C B B_{1} ▵

-ben

\begin{matrix} \frac{b^{2}}{4} = a^{2} + k^{2} - a \sqrt[]{4 k^{2} - m^{2}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} b = 2 \sqrt[]{k^{2} + a (a - \sqrt[]{4 k^{2} - m^{2}})} . \end{matrix}

Ha az

A B

oldal felezőpontja

C_{1}

, akkor

B B_{1} C_{1} ▵

-ben

\begin{matrix} \frac{c^{2}}{4} = k^{2} + \frac{a^{2}}{4} - \frac{a}{2} \sqrt[]{4 k^{2} - m^{2}}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} c = 2 \sqrt[]{k^{2} + \frac{a}{2} (\frac{a}{2} - \sqrt[]{4 k^{2} - m^{2}})} . \end{matrix}

A szögeket pedig a

sin γ = \frac{m}{b}

és

sin β = \frac{m}{c}

egyenletekből számítjuk ki.

(Krisztián György.)

A feladatot még megoldották: Bobál S., Freibauer E., Kiss A., Lukhaub Gy., Prohászka, Weisz Á., Weisz J.