Kezdőlap


Feladat:	551. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Freibauer E. , Krisztián Gy. , Prohászka János , Weisz Á.
Füzet:	1899/március, 142 - 143. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Ceva-tétel, Transzverzálisok, Pont körre vonatkozó hatványa, Körülírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/június: 551. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Ceva-féle tétel értelmében,

\begin{matrix} \frac{A C_{1}}{B C_{1}} \cdot \frac{B A_{1}}{C A_{1}} \cdot \frac{C B_{1}}{A B_{1}} = - 1 \end{matrix}

(1)

Minthogy egy pontból a körhöz húzott szelők szeleteinek a szorzatai egyenlők, azért

\begin{matrix} \frac{A C_{1}}{A B_{1}} = \frac{A B_{2}}{A C_{2}}, \frac{B A_{1}}{B C_{1}} = \frac{B C_{2}}{B A_{2}}, \frac{C B_{1}}{C A_{1}} = \frac{C A_{2}}{C B_{2}} . \end{matrix}

Ezen egyenlőségeket egymással megszorozván:

\begin{matrix} \frac{A C_{1}}{B C_{1}} \cdot \frac{B A_{1}}{C A_{1}} \cdot \frac{C B_{1}}{A B_{1}} = \frac{A B_{2}}{C B_{2}} \cdot \frac{C A_{2}}{B A_{2}} \cdot \frac{B C_{2}}{A C_{2}}, \end{matrix}

(1)-et tekintetbe véve:

\begin{matrix} \frac{A B_{2}}{C B_{2}} \cdot \frac{C A_{2}}{B A_{2}} \cdot \frac{B C_{2}}{A C_{2}} = - 1, \end{matrix}

a mi a Ceva-féle tétel értelmében kritériuma annak, hogy az

A A_{2}, B B_{2}

és

C C_{2}

egyenesek egy pontban metszik egymást.

(Prohászka János, Prága.)

A feladatot még megoldották: Freibauer E., Krisztián Gy., Weisz Á.