Kezdőlap


Feladat:	549. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Oltay Károly
Füzet:	1898/november, 53 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Hozzáírt körök, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/június: 549. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

^{$^{*}$} $1^{\circ}$ . Minthogy

\begin{matrix} R = \frac{a}{2 sin α} = \frac{a}{4 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} 4 R = sin \frac{α}{2} cos \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2} = \frac{4 a sin \frac{α}{2} cos \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2}}{4 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{a cos \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2}}{cos \frac{α}{2}} = \sqrt[]{\frac{s s_{2} s_{3}}{s}} = r_{1} . \end{matrix}

Épp így:

\begin{matrix} r_{2} = 4 R sin \frac{β}{2} cos \frac{α}{2} cos \frac{γ}{2}, r_{3} = 4 R sin \frac{γ}{2} cos \frac{α}{2} cos \frac{β}{2} . \end{matrix}

2^{\circ}

\begin{matrix} r_{1} r_{2} r_{3} = \frac{a cos \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2}}{cos \frac{α}{2}} \cdot \frac{b cos \frac{α}{2} cos \frac{γ}{2}}{cos \frac{β}{2}} \cdot \frac{c cos \frac{α}{2} cos \frac{β}{2}}{cos \frac{γ}{2}} . \end{matrix}

\begin{matrix} = a b c cos \frac{α}{2} cos \frac{β}{2} cos \frac{γ}{2} . \end{matrix}

(Oltay Károly, Budapest, II. ker. áll. főrreálisk.)

Megoldások száma: 10.

^{$^{*}$}A következő jelöléseket alkalmazzuk:

s = \frac{a + b + c}{2}, s_{1} = s - a, s_{2} = s - b, s_{3} = s - c . R

a háromszög köré írható kör sugara,

O

a középpontja,

r

a háromszögbe írható kör sugara,

O'

e kör középpontja;

r_{1}, r_{2}, r_{3}

a háromszög oldalait kívülről érintő körök sugarai;

O_{1}, O_{2}, O_{3}

e körök középpontjai.

O O' = d, O O_{1} = d_{1}, O O_{2} = d_{2}, O O_{3} = d_{3}

. A beírt kör

K_{1}, K_{2}, K_{3}

pontokban érinti a háromszög oldalait; az

r_{1}, r_{2}, r_{3}

sugarú körök

K'_{1}, K''_{1}, K'''_{1}, K'_{2}, K''_{2}, K'''_{2} K'_{3}, K''_{3}, K'''_{3}

pontokban érintik a háromszög oldalait.