Kezdőlap


Feladat:	548. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lukhaub Gyula
Füzet:	1898/november, 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körülírt kör, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szinusztétel alkalmazása, Terület, felszín, Beírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/június: 548. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

^{$^{*}$} $1^{\circ}$ . Minthogy

\begin{matrix} sin α = \frac{a}{2 R}, sin β = \frac{b}{2 R}, sin γ = \frac{c}{2 R}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} sin α + sin β + sin γ = \frac{a + b + c}{2 R} = \frac{s}{R} . \end{matrix}

2^{\circ}

\begin{matrix} cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin \frac{α}{2} sin \frac{β}{2} sin \frac{γ}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} sin \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{s_{2} s_{3}}{b c}}, sin \frac{β}{2} = \sqrt[]{\frac{s_{1} s_{3}}{a c}}, sin \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{s_{1} s_{2}}{a b}} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 \frac{s_{1} s_{2} s_{3}}{a b c} = \end{matrix}

\begin{matrix} 1 + \frac{\frac{t}{s}}{\frac{a b c}{4 t}} = 1 + \frac{r}{R} . \end{matrix}

(Lukhaub Gyula.)

Megoldások száma: 11.

^{$^{*}$}A következő jelöléseket alkalmazzuk:

s = \frac{a + b + c}{2}, s_{1} = s - a, s_{2} = s - b, s_{3} = s - c . R

a háromszög köré írható kör sugara,

O

a középpontja,

r

a háromszögbe írható kör sugara,

O'

e kör középpontja;

r_{1}, r_{2}, r_{3}

a háromszög oldalait kívülről érintő körök sugarai;

O_{1}, O_{2}, O_{3}

e körök középpontjai.

O O' = d, O O_{1} = d_{1}, O O_{2} = d_{2}, O O_{3} = d_{3}

. A beírt kör

K_{1}, K_{2}, K_{3}

pontokban érinti a háromszög oldalait; az

r_{1}, r_{2}, r_{3}

sugarú körök

K'_{1}, K''_{1}, K'''_{1}, K'_{2}, K''_{2}, K'''_{2} K'_{3}, K''_{3}, K'''_{3}

pontokban érintik a háromszög oldalait.