Kezdőlap


Feladat:	543. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Lukhaub Gy. , Weisz Ármin , Weisz J.
Füzet:	1899/február, 109 - 110. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Háromszögek szerkesztése, Ellipszis, mint mértani hely, Súlyvonal, Magasságvonal, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/június: 543. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A A_{1} = m, A A_{2} = k$ , és $A_{1} A_{2} = x$ .
Minthogy

\begin{matrix} c^{2} = m^{2} + {(\frac{a}{2} + x)}^{2} és b^{2} = m^{2} + {(\frac{a}{2} - x)}^{2}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} 2 a x = c^{2} - b^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 2 a x = 2 l (c - b) \end{matrix}

\begin{matrix} x = \sqrt[]{k^{2} - m^{2}} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a = \frac{l (c - b)}{\sqrt[]{k^{2} - m^{2}}}, a^{2} = \frac{l^{2} {(c - b)}^{2}}{k^{2} - m^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} b + c = 2 l \end{matrix}

\begin{matrix} b^{2} + c^{2} = 4 l^{2} - 2 b c \end{matrix}

\begin{matrix} {(b - c)}^{2} = 4 (l^{2} - b c) \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a^{2} = \frac{4 l^{2} (l^{2} - b c)}{k^{2} - m^{2}} \end{matrix}

(1)

Másrészt

\begin{matrix} 4 k^{2} = 2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 4 k^{2} = 4 (2 l^{2} - b c) - a^{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} a^{2} = 4 (2 l^{2} - b c) - 4 k^{2} . \end{matrix}

(2)

(1) és (2)-ből:

\begin{matrix} b c = \frac{2 l^{2} k^{2} - 2 l^{2} m^{2} + k^{2} m^{2} - l^{4} - k^{4}}{k^{2} - m^{2} - l^{2}} \end{matrix}

ezen egyenletet összekapcsolva

b + c = 2 l

egyenlettel, kapjuk:

\begin{matrix} b = l + \sqrt[]{\frac{(k^{2} - m^{2}) (k^{2} - l^{2})}{k^{2} - m^{2} - l^{2}}} \end{matrix}

\begin{matrix} c = l - \sqrt[]{\frac{(k^{2} - m^{2}) (k^{2} - l^{2})}{k^{2} - m^{2} - l^{2}}} \end{matrix}

\begin{matrix} a = 2 l \sqrt[]{\frac{k^{2} - l^{2}}{k^{2} - m^{2} - l^{2}}} . \end{matrix}

A szögeket a következő egyenletek adják

\begin{matrix} sin B = \frac{m}{c}, sin C = \frac{m}{b}, A = 180^{\circ} - (B + C) . \end{matrix}

(Weisz Ármin.)

Szerkesztés. A háromszögnek

A

csúcsa, pontja oly ellipsisnek, melynek nagy tengelye

b + c = 2 l

, s melynek gyújtópontjai

B

és

C

; ha e pontokat meg tudjuk határozni, a feladatot megoldottuk. Ennek alapján oly derékszögű háromszöget szerkesztünk, melynek egyik befogója

A A_{1} = m

, átfogója

A A_{2} = k

A_{2}

csúcsa a

b + c

egyenes középpontja;

b + c

fölé félkört rajzolunk, mely

A A_{1}

meghosszabbítását

D

-ben metszi.

A_{2} D

-re

A

-ból megrajzoljuk az

A E

merőlegest s a nagy tengelyre, ennek

A_{2}

középpontjában emelt merőlegesre rámérjük

A_{2} E

-t. Így kapjuk a kis tengely egyik végpontját; e pontból

\frac{b + c}{2} = l

-lel körívet rajzolunk, mely a nagy tengelyt a keresett

B

és

C

pontokban metszi.

A feladatot még megoldották: Lukhaub Gy., Weisz J.