Kezdőlap


Feladat:	542. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Groffits G. , Krisztián György , Lukhaub Gy. , Weisz Á.
Füzet:	1899/január, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenes, Húrnégyszögek, Pont körüli forgatás, Pont körre vonatkozó hatványa, Hatványvonal, hatványpont, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/június: 542. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kössük össze $O$ -t $P$ -vel és állítsunk $O P$ -re $O$ -ban merőlegest, mely a kört $A$ és $B$ pontokban metszi. Írjunk $A B P$ háromszög köré kört, melynek középpontja $O_{1}$ és a mely $O P$ meghosszabbítását $K$ -ban metszi.

A K B P

húrnégyszög s így

\begin{matrix} K O \cdot O P = A O \cdot O B . \end{matrix}

(1)

Most tegyük fel, hogy

A B

átmérő

A_{1} B_{1}

helyzetbe jut. Az

A_{1} B_{1} P

háromszög köré írt körnek metszése az

O P

meghosszabbításával legyen

K_{1}

A_{1} K_{1} B_{1} P

húrnégyszög s így

\begin{matrix} K_{1} O \cdot O P = A_{1} O \cdot O B_{1} = A O \cdot O B \end{matrix}

(2)

(1) és (2) alapján

\begin{matrix} K_{1} O = K O, \end{matrix}

ami azt mutatja, hogy

K_{1}

összeesik

K

-val; vagyis

K

valamennyi körnek közös metszéspontja,

K P

pedig az összes körök közös húrja. Így tehát ezen körök középpontjainak mértani helye a

P K

egyenes

O_{1}

középpontjában emelt merőleges.

(Krisztián György.)

Jegyzet.

\begin{matrix} {\bar{O_{2} P}}^{2} - {\bar{O_{2} O}}^{2} = {\bar{O_{2} P}}^{2} - ({\bar{O_{2} A_{1}}}^{2} - {\bar{O A_{1}}}^{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} O_{2} A_{1} = O_{2} P \end{matrix}

s így

\begin{matrix} {\bar{O_{2} P}}^{2} - {\bar{O_{2} O}}^{2} = {\bar{O A_{1}}}^{2} = R^{2} . \end{matrix}

Tehát

O_{2}

pont mértani helye oly egyenes, mely

O P

-re merőleges (541. feladat, 1. pont). Minthogy pedig a

P

ponthoz s az

O

középpontú körhöz tartozó hatványvonal minden

X

pontjára nézve:

\begin{matrix} {\bar{X O}}^{2} - {\bar{X P}}^{2} = R^{2}, \end{matrix}

azért a keresett mértani hely a hatványvonallal párhuzamos egyenes, mely a kör középpontjától oly távolságban van, mint a hatványvonal

P

-től.

A feladatot megoldották: Groffits G., Lukhaub Gy., Weisz Á.