A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Feladatunk a következő tételek figyelembe vételével könnyen megoldható:
1. Mindazon pontok mértani helye, melyekre nézve az adott és pontoktól való távolságok négyzeteinek külömbsége állandó, oly egyenes, mely -re merőleges.
Legyen ugyanis a keresett mértani helynek egyik pontja , akkor | | s így
2. Ama körök középpontjainak mértani helye, melyek két adott kört két-két átellenes pontban metszenek, oly egyenes, mely az adott körök centrálisára merőlegesen áll. Legyenk az adott és körök sugarai , a keresett mértani helynek egyik pontja .
Ekkor | | de s így A keresett mértani hely az első tétel értelmében tehát csakugyan oly egyenes, mely a két kör centrálisára merőleges; egyúttal látjuk, hogy e mértani hely minden pontjára nézve, a megadott körök középpontjaitól való távolságok négyzeteinek külömbsége egyenlő .
3. Ismeretes, hogy két kör hatványvonalának (K-M.L.IV.135.lap) minden pontjára nézve: s így, ha a hatványvonal s az centrális metszéspontja, akkor Ennek alapján úgy határozhatjuk meg a 2)-ben keresett mértani helynek az centrálisan fekvő pontját, hogy -t egyenlővé tesszük -fel; ekkor ugyanis
| | tehát csakugyan pontja a keresett mértani helynek. A keresett mértani hely távolsága az egyik kör középpontjától tehát egyenlő a hatványvonalnak távolságával a másik kör középpontjától.
4. -t a következőképpen is megszerkeszthetjük: és pontokban (2. ábra) -re merőlegeseket emelünk, melyek a köröket és pontokban metszik. Az -nek középpontjában emelt merőleges a centrálist a keresett pontban metszi. Bizonyítás. | | de s így
5. A keresett mértani hely minden pontja oly tulajdonságú, hogy a két körre vonatkoztatott hatványainak külömsége állandó; | | | |
Ez okból e mértani helyet az äquidifferens hatványok vonalának nevezzük. Ezek alapján feladatunkat a következőképpen oldjuk meg: -n és -n a 4)-ben leírt módon meghatározzuk az és pontokat; az ezen pontokban a centrálisokra emelt merőlegesek a keresett kör középpontjában -ban metszik egymást. E kör sugarát megkapjuk, ha középpontját, -t, az egyik adott kör középpontjával pl. -val összekötjük s -ra, -ban merőlegest emelünk. A keresett kör ezen átmérőnek két végpontján megy át.
A feladatot megoldotta: Krisztián György. |
|