Kezdőlap


Feladat:	539. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Andráschek F. , Freibauer E. , Groffits G. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Oltay K. , Perl Gy. , Prohászka J. , Weisz Á. , Weisz J.
Füzet:	1898/november, 59 - 60. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/június: 539. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . $D B$ és $E C$ átmérők párhuzamosak, mert mindkettő merőleges $B C$ -re; ennélfogva $F B A ∢ = A E C ∢$ ; de $F A B$ és $A G E$ egyenlőszárú háromszögek s így $F B A ∢ = F A B ∢$ és $A E C ∢ = G A E ∢$ ; tehát $F A B ∢ = E A G ∢$ . $F A$ és $A G$ egy egyenesbe esnek, miért is a körök egymást érintik.

2^{\circ}

. A

D B C

és

B A C

háromszögek hasonlóságából következik, hogy

\begin{matrix} B D : B C = A B : A C \end{matrix}

miből

\begin{matrix} 2 r_{1} = \frac{a c}{b} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} r_{1} = \frac{a c}{2 b}; \end{matrix}

épp így kapjuk, hogy

\begin{matrix} r_{2} = \frac{a b}{2 c} . \end{matrix}

B D C

háromszögből:

\begin{matrix} {\bar{A B}}^{2} = A D \cdot A C, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} A D = \frac{c^{2}}{b} \end{matrix}

épp így

\begin{matrix} A E = \frac{b^{2}}{c} \end{matrix}

3^{\circ}

. Legyen

A B = x

és

A C = y

\begin{matrix} C D + B E = y + \frac{x^{2}}{y} + x + \frac{y^{2}}{x} = m, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x (x^{2} + y^{2}) + y (x^{2} + y^{2}) = m x y \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a^{2} (x + y) = m x y . \end{matrix}

(1)

Minthogy továbbá

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = a^{2} . \end{matrix}

(2)

Az első egyenlet négyzetre emelése után lesz:

\begin{matrix} a^{4} (a^{2} + 2 x y) = m^{2} x^{2} y^{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} m^{2} x^{2} y^{2} - 2 a^{4} x y - a^{6} = 0. \end{matrix}

Ezen egyenletből kiszámítjuk

x y

-t, (1)-ből

(x + y)

-t, miáltal

x

és

y

meghatározhatók.

A feladatot megoldották: Andráschek F., Freibauer E., Groffits G., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Oltay K., Perl Gy., Prohászka J., Weisz Á., Weisz J.