Kezdőlap


Feladat:	536. matematika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Freibauer E. , Kiss A. , Krisztián György , Weisz Á.
Füzet:	1899/március, 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Determinánsok - lineáris egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/június: 536. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mielőtt $u, v$ és $w$ értékét meghatároznók, fejtsük ki $Δ_{α}$ értékét:

\begin{matrix} Δ_{α} = | \begin{matrix} x & y & z \\ x' & y' & z' \\ x'' & y'' & z'' \end{matrix} | = x y' z'' + y z' x'' + z x' y'' - z y' x'' - x z' y'' - y x' z'' \end{matrix}

x, x', x'', y ... z''

értékeit behelyettesítve és a kijelölt műveleteket elvégezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} Δ_{α} = \frac{{(1 + r^{2} + p^{2} + q^{2})}^{3}}{{(1 + r^{2} + p^{2} + q^{2})}^{3}} = \frac{Δ^{3}}{Δ^{3}} = 1. \end{matrix}

Így tehát

\begin{matrix} u = | \begin{matrix} u' & y & z \\ v' & y' & z' \\ w' & y'' & z'' \end{matrix} | = u' y' z'' + y z' w'' + z v' y'' - z y' w' - u' z' y'' - y v' z'' . \end{matrix}

Ha a megfelelő értékeket behelyettesítjük, a kijelölt szorzásokat és a lehető összevonásokat elvégezzük és végre az így nyert alakot egyszerűbb alakra hozzuk, akkor

\begin{matrix} u = \frac{u' (1 + p^{2} - r^{2} - q^{2}) + 2 v' (p q - r) + 2 w' (r p + q)}{1 + r^{2} + p^{2} + q^{2}} . \end{matrix}

Hasonlóan kapjuk, hogy

\begin{matrix} v = \frac{2 u' (r + p q) + v' (1 - r^{2} - p^{2} + q^{2}) + 2 w' (r q - p)}{1 + r^{2} + p^{2} + q^{2}} . \end{matrix}

és

\begin{matrix} w = \frac{2 u' (r p - q) + 2 v' (p + r q) + w' (1 + r^{2} - p^{2} - q^{2})}{1 + r^{2} + p^{2} + q^{2}} . \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} u = u' x + v' x' + w' x'' \end{matrix}

\begin{matrix} v = u' y + v' y' + w' y'' \end{matrix}

és

\begin{matrix} w = u' z + v' z' + w' z'' . \end{matrix}

(Krisztián György.)

A feladatot még megoldották: Freibauer E., Kiss A., Weisz Á.