Kezdőlap


Feladat:	535. matematika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bobál S. , Freibauer E. , Groffits G. , Kiss A. , Krisztián György , Lukhaub Gy. , Prohászka J. , Weisz Á. , Weisz J.
Füzet:	1899/március, 131 - 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Determinánsok - lineáris egyenletrendszerek, Paraméteres egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/június: 535. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . A determinánsok elmélete alapján:

\begin{matrix} x = | \begin{matrix} 1 & r & - q \\ r & - 1 & p \\ - q & - p & 1 \end{matrix} | : Δ = \frac{1 - r^{2} + p^{2} - q^{2}}{Δ}, \end{matrix}

\begin{matrix} y = | \begin{matrix} 1 & 1 & - q \\ - r & r & p \\ q & - q & 1 \end{matrix} | : Δ = \frac{2 (r + p q)}{Δ} \end{matrix}

és

\begin{matrix} z = | \begin{matrix} 1 & r & 1 \\ - r & 1 & r \\ q & - p & - q \end{matrix} | : Δ = \frac{2 (r p - q)}{Δ}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} Δ = | \begin{matrix} 1 & r & - q \\ - r & 1 & p \\ q & - p & 1 \end{matrix} | = 1 + r^{2} + p^{2} + q^{2}, \end{matrix}

vagyis az ismeretlenek coefficienseiből alakuló harmadfokú determináns.

2^{\circ}

\begin{matrix} x' = | \begin{matrix} - r & r & - q \\ 1 & 1 & p \\ p & - p & 1 \end{matrix} | : Δ' = \frac{2 (p q - r)}{Δ'} \end{matrix}

\begin{matrix} y' = | \begin{matrix} 1 & - r & - q \\ - r & 1 & p \\ q & p & 1 \end{matrix} | : Δ' = \frac{1 - r^{2} - p^{2} + q^{2}}{Δ'} \end{matrix}

és

\begin{matrix} z' = | \begin{matrix} 1 & r & - r \\ - r & 1 & 1 \\ q & - p & p \end{matrix} | : Δ' = \frac{2 (p + r q)}{Δ'} \end{matrix}

a hol

\begin{matrix} Δ' = | \begin{matrix} 1 & r & - q \\ - r & 1 & p \\ q & - p & 1 \end{matrix} | = 1 + r^{2} + p^{2} + q^{2} . \end{matrix}

3^{\circ}

\begin{matrix} x'' = | \begin{matrix} q & r & - q \\ - p & 1 & p \\ 1 & - p & 1 \end{matrix} | : Δ'' = \frac{2 (q + r p)}{Δ''} \end{matrix}

\begin{matrix} y'' = | \begin{matrix} 1 & q & - q \\ - r & - p & p \\ q & 1 & 1 \end{matrix} | : Δ'' = \frac{2 (r q - p)}{Δ''} \end{matrix}

és

\begin{matrix} z'' = | \begin{matrix} 1 & r & q \\ - r & 1 & - p \\ q & - p & 1 \end{matrix} | : Δ'' = \frac{1 + r^{2} - p^{2} - q^{2}}{Δ''} \end{matrix}

a hol

\begin{matrix} Δ'' = | \begin{matrix} 1 & r & - q \\ - r & 1 & p \\ q & - p & 1 \end{matrix} | = 1 + r^{2} + p^{2} + q^{2} . \end{matrix}

Ezekből tehát láthatjuk, hogy

\begin{matrix} Δ = Δ' = Δ'' = 1 + r^{2} + p^{2} + q^{2} . \end{matrix}

(Krisztián György.)

A feladatot még megoldották: Bobál S., Freibauer E., Groffits G., Kiss A., Lukhaub Gy., Prohászka J., Weisz Á., Weisz J.