Kezdőlap


Feladat:	534. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Frankl L. , Krisztián Gy. , Prohászka J. , Weisz J.
Füzet:	1898/október, 34. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Oszthatóság, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/június: 534. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett szám ilyen alakú:

\begin{matrix} a^{2} = 1000 x + 100 x + 10 y + y = \end{matrix}

\begin{matrix} = 100 x (10 + 1) + y (10 + 1) = 11 (100 x + y) . \end{matrix}

Minthogy

11 (100 x + y)

egy számnak a teljes négyzete, szükséges, hogy

100 x + y = 99 x + x + y

osztható legyen

11

-gyel; vagyis

x + y

többszöröse

11

-nek. De úgy

x

mint

y

kisebb

10

-nél, s így

\begin{matrix} x + y = 11, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} y = 11 - x, \end{matrix}

mit

100 x + y

-ba téve, ered

\begin{matrix} 100 x + y = 100 x + 11 - x = 99 x + 11 = 11 (9 x + 1) . \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} a^{2} = 11^{2} (9 x + 1) . \end{matrix}

Minthogy

(9 x + 1)

egy számnak a teljes négyzete, azért

9 x + 1

utolsó jegye csakis

1, 4, 5, 6

vagy

9

lehet s így a

9 x

szorzat egyese csakis

0, 3, 4, 5

vagy

8

lehet;

x

-nek az értéke ennélfogva

2, 5, 6

vagy

7

. Ha

x

egyenlő

2, 5

vagy

6

, akkor

9 x + 1

egyenlő

19, 46, 55

, mely számnak egyike sem négyzet. De ha

x = 7

, akkor

9 x + 1 = 64 = 8^{2}

. Ennélfogva feladatunknak csak ezen érték felel meg. Ha

x = 7

, akkor

y = 4

s így a keresett szám

7744

A feladatot megoldották: Frankl I., Krisztián Gy., Prohászka J., Weisz J.