Kezdőlap


Feladat:	533. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Freibauer E. , Lukhaub Gy. , Prohászka J.
Füzet:	1898/október, 33 - 34. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Nevezetes azonosságok, Pitagoraszi számhármasok, Másodfokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/június: 533. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a megadott egyenlőség mindkét oldalát $2$ -vel szorozzuk s a baloldalhoz $2 a c - 2 a c$ -t hozzáadunk, akkor:

\begin{matrix} 2 a^{2} + 2 c^{2} + 2 a c - 2 a c = 4 b^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} {(c + a)}^{2} + {(c - a)}^{2} = 4 b^{2} \end{matrix}

miből látjuk, hogy úgy

c + a

, mint

c - a

páros szám; legyen ennélfogva

\begin{matrix} c + a = 2 p, c - a = 2 q . \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} c^{2} - a^{2} = 4 p q \end{matrix}

c^{2} - a^{2}

tehát akkor osztható

48

-czal, ha

p q

osztható

12

vel; e végből kimutatjuk, hogy

p q

osztható

3

-mal és

4

-gyel.

1^{\circ}

. Tegyük föl, hogy sem

p

sem

q

nem osztható

3

-mal; ekkor tehát

p = 3 α \pm 1, q = 3 β \pm 1

s így

\begin{matrix} p^{2} + q^{2} = 9 α^{2} \pm 6 α + 1 + 9 β^{2} \pm 6 β + 1 = \end{matrix}

\begin{matrix} = 3 (3 α^{2} \pm 2 α + 3 β^{2} \pm 2 β) + 2 = b^{2}, \end{matrix}

a mi lehetetlen, mert egy számnak a négyzete vagy osztható

3

-mal, vagy

1

-gyel nagyobb

3

-nak valamely többszörösénél. Ennélfogva

p

és

q

tényezők közül az egyik osztható

3

-mal.

2^{\circ}

. Tegyük föl, hogy

p

és

q

páratlan számok, tehát

p = 2 k + 1

q = 2 l + 1

, ekkor

\begin{matrix} p^{2} + q^{2} = 4 (k^{2} + k + l^{2} + l) + 2 = b^{2} \end{matrix}

a mi ismét lehetetlen, mert ha egy egész számnak a négyzete páros szám, úgy e négyzet osztható

4

-gyel.

p

és

q

tényezők közül tehát az egyik mindenesetre páros szám.
Legyen pl.

p

páros és

q

páratlan szám. Minthogy

\begin{matrix} p^{2} = b^{2} - q^{2} \end{matrix}

következik, hogy

b

is páratlan. De két páratlan szám négyzetének a külömbsége osztható

8

-czal, s így

p

mindenesetre osztható

4

-gyel.
Minthogy tehát

p q

osztható

3

-mal és

4

-gyel, azért

4 p q = c^{2} - a^{2}

osztható

48

-czal.

A feladatot megoldották: Freibauer E., Lukhaub Gy., Prohászka J.