Kezdőlap


Feladat:	528. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Devecis M. , Döme B. , Freibauer E. , Krisztián György , Prohászka J. , Sasvári G. , Spitzer Ö. , Weisz J.
Füzet:	1898/november, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Fizikai jellegű feladatok, Térfogat, Szöveges feladatok, Egyenes körhengerek, Gömb és részei, Úszás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/április: 528. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a gömb sugara $r$ , a henger alapjának (a nyílás keresztmetszetének) sugara $ρ$ , a vas fajsúlya $s$ és a parafa fajsúlya $s_{1}$ . A gömb megmaradt részének köbtartalmát úgy számítjuk ki, hogy a gömb köbtartalmából kivonjuk a fúrás által keletkezett henger és a két kiegészítő gömbszelet köbtartalmát; vagyis

\begin{matrix} v = 2 π [\frac{2 r^{3}}{3} - ρ^{2} \sqrt[]{r^{2} - ρ^{2}} - \frac{r - \sqrt[]{r^{2} - ρ^{2}}}{6} (3 ρ^{2} + 2 r^{2} - 2 r \sqrt[]{r^{2} - ρ^{2}} - ρ^{2})] \end{matrix}

miből

\begin{matrix} v = \frac{4 π}{3} \sqrt[]{{(r^{2} - ρ^{2})}^{3}} . \end{matrix}

Tehát a parafa köbtartalma:

\begin{matrix} v_{1} = \frac{4 r^{3} π}{3} - \frac{4 π}{3} \sqrt[]{{(r^{2} - ρ^{2})}^{3}}, \end{matrix}

ha a vasgolyó vízben úszik, akkor

\begin{matrix} \frac{4 π s}{3} \sqrt[]{{(r^{2} - ρ^{2})}^{3}} + s_{1} (\frac{4 r^{3} π}{3} - \frac{4 π}{3} \sqrt[]{{(r^{2} - ρ^{2})}^{3}}) = \frac{4 r^{3} π}{3} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} s \sqrt[]{{(r^{2} - ρ^{2})}^{3}} + s_{1} r^{3} - s_{1} \sqrt[]{{(r^{2} - ρ^{2})}^{3}} = r^{3} \end{matrix}

\begin{matrix} \sqrt[]{r^{2} - ρ^{2}} = r \sqrt[3]{\frac{1 - s_{1}}{s - s_{1}}} \end{matrix}

\begin{matrix} r^{2} - ρ^{2} = r^{2} \sqrt[3]{{(\frac{1 - s_{1}}{s - s_{1}})}^{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} ρ = r \sqrt[]{1 - \sqrt[3]{(\frac{1 - s_{1}}{s - s_{1}}})^{2}} . \end{matrix}

A megadott értékeket helyettesítve:

ρ = 0, 881 r

(Krisztián György.)

A feladatot még megoldották: Devecis M., Döme B., Freibauer E., Prohászka J., Sasvári G., Spitzer Ö., Weisz J.