Kezdőlap


Feladat:	526. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bella I. , Devecis M. , Freibauer Ede , Krausz B. , Krisztián Gy. , Sasvári G. , Spitzer Ö.
Füzet:	1898/november, 55 - 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Térfogat, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Térbeli szimmetrikus alakzatok, Csonkakúp, Szögfüggvények a térben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/április: 526. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $B C$ oldal forgásából keletkező fölület egy csonka kúp palástja s így:

\begin{matrix} F = (B E + C F) π a . \end{matrix}

(1)

A rajz mutatja, hogy

\begin{matrix} F C A ∢ = A C O ∢ = y \end{matrix}

és

\begin{matrix} O B A ∢ = A B E ∢ = x \end{matrix}

A F C

és

E A B

háromszögekből:

\begin{matrix} F C = b cos y, B E = c cos x, \end{matrix}

\begin{matrix} cos y = \frac{b}{2 r}, cos x = \frac{c}{2 r} \end{matrix}

vagy minthogy

\begin{matrix} r = \frac{a}{2 sin α} = \frac{a b c}{4 t}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} cos y = \frac{2 t}{a c}, cos x = \frac{2 t}{a b} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} F C = \frac{2 b t}{a c}, B E = \frac{2 c t}{a b} \end{matrix}

mit (1)-be téve

\begin{matrix} F = 2 π t (\frac{b}{c} + \frac{c}{b}) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} F = 2 π t \frac{b^{2} + c^{2}}{b c} . \end{matrix}

A forgási test köbtartalma:

\begin{matrix} V = F \cdot \frac{m}{3} = 2 π t \frac{b^{2} + c^{2}}{b c} \cdot \frac{a m}{3 a} = 4 π t^{2} \frac{b^{2} + c^{2}}{3 a b c} . \end{matrix}

A = 90^{\circ}

, úgy

b^{2} + c^{2} = a^{2}

b c = 2 t

, tehát

\begin{matrix} F = a^{2} π és V = \frac{a b c π}{3} . \end{matrix}

(Freibauer Ede.)

A feladatot még megoldották: Bella I., Devecis M., Krausz B., Krisztián Gy., Sasvári G., Spitzer Ö.