Kezdőlap


Feladat:	521. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bella J. , Devecis M. , Freibauer E. , Kornis Ödön , Lukhaub Gy.
Füzet:	1899/március, 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Súlypont, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/április: 521. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az egyes háromszögekben a középvonalak $\frac{2}{3}$ részeinek négyzeteiből alkotott összegeket rendre $s_{1}^{2}, s_{2}^{2}, s_{3}^{2}$ -tel, a középvonalak metszési pontjait $S_{1}, S_{2}$ és $S_{3}$ -mal jelöljük, akkor az 520. feladat alapján a megadott összefüggés így is írható:

\begin{matrix} s_{1}^{2} + 3 {\bar{P S_{1}}}^{2} = s_{2}^{2} + {\bar{P S_{2}}}^{2} = s_{3}^{2} + 3 {\bar{P S_{3}}}^{2}, \end{matrix}

(1)

miből

\begin{matrix} \frac{s_{1}^{2} - s_{2}^{2}}{3} = {\bar{P S_{2}}}^{2} - {\bar{P S_{1}}}^{2} \end{matrix}

(2)

(2) mutatja, hogy a keresett

P

pont ama háromszögnek

S_{1} S_{2}

oldalához tartozó magasságában van, melynek második és harmadik oldala:

\frac{s_{1}}{\sqrt[]{3}} = \frac{s_{1}}{3} \sqrt[]{3}

és

\frac{s_{2}}{\sqrt[]{3}} = \frac{s_{2}}{3} \sqrt[]{3}

, mely távolságok megszerkeszthetők. Hasonló eljárással találjuk, hogy a

P

pont ama háromszögnek

S_{2} S_{3}

(ill.

S_{1} S_{3})

oldalához tartozó magasságában van, melynek többi oldalai

\frac{s_{2}}{3} \sqrt[]{3}, \frac{s_{3}}{3} \sqrt[]{3}

(ill.

\frac{s_{1}}{3} \sqrt[]{3}, \frac{s_{3}}{3} \sqrt[]{3}

). E három egyenes egy pontban metszi egymást, mely a keresett

P

pont.

(Kornis Ödön.)

A feladatot még megoldották: Bella J., Devecis M., Freibauer E., Lukhaub Gy.