Kezdőlap


Feladat:	520. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bella I. , Devecis M. , Freibauer E. , Goldziher K. , Krisztián György , Sasvári G. , Spitzer Ö.
Füzet:	1898/október, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Súlyvonal, Súlypont, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/április: 520. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rajzoljuk meg a háromszög középvonalait; jelöljük $C B$ középpontját $R$ -rel, $A S$ -ét $T$ -vel s kössük össze az $R, S$ és $T$ pontokat $X$ ponttal.

Ismeretes (412. feladat, IV. 96. lap), hogy

\begin{matrix} {\bar{C X}}^{2} + {\bar{B X}}^{2} = 2 {\bar{R X}}^{2} + 2 {\bar{C R}}^{2} \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} {\bar{R X}}^{2} + {\bar{T X}}^{2} = 2 {\bar{S X}}^{2} + 2 {\bar{S R}}^{2} \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} {\bar{S X}}^{2} + {\bar{A X}}^{2} = 2 {\bar{T X}}^{2} + 2 {\bar{S R}}^{2} \end{matrix}

(3)

E három egyenletet összeadva:

\begin{matrix} {\bar{A X}}^{2} + {\bar{B X}}^{2} + {\bar{C X}}^{2} = {\bar{R X}}^{2} + 2 {\bar{C R}}^{2} + {\bar{S X}}^{2} + {\bar{T X}}^{2} + 4 {\bar{S R}}^{2} . \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} 2 {\bar{C R}}^{2} + 2 {\bar{S R}}^{2} = {\bar{S B}}^{2} + {\bar{S C}}^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} {\bar{R X}}^{2} + {\bar{T X}}^{2} = 2 {\bar{S X}}^{2} + 2 {\bar{S R}}^{2} \end{matrix}

s így (4)-ből lesz:

\begin{matrix} {\bar{A X}}^{2} + {\bar{B X}}^{2} + {\bar{C X}}^{2} = {\bar{S B}}^{2} + {\bar{S C}}^{2} + 3 {\bar{S X}}^{2} + 4 {\bar{S R}}^{2} \end{matrix}

s minthogy

\begin{matrix} 4 {\bar{S R}}^{2} = {\bar{A S}}^{2}, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} {\bar{A X}}^{2} + {\bar{B X}}^{2} + {\bar{C X}}^{2} = {\bar{S A}}^{2} + {\bar{S B}}^{2} + {\bar{S C}}^{2} + 3 {\bar{S X}}^{2} . \end{matrix}

(Krisztián György, Pécs.)

A feladatot még megoldották: Bella I., Devecis M., Freibauer E., Goldziher K., Sasvári G., Spitzer Ö.