Kezdőlap


Feladat:	519. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Barna D. , Bella I. , Bobál S. , Devecis M. , Döme B. , Freibauer E. , Goldziher K. , Juvancz I. , Kiss A. , Kohn B. , Koós Aladár , Krausz B. , Krisztián Gy. , Obláth R. , Prohászka J. , Rehberger Z. , Sasvári G. , Spitzer Ö. , Weisz Arthur , Weisz J.
Füzet:	1898/október, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Körérintési szerkesztések, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/április: 519. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Rajzoljunk $O$ -ból $A B$ -vel párhuzamost, mely $O_{1} B$ -t $D$ -ben metszi.
Az $O O_{1} D$ derékszögű háromszögből:

\begin{matrix} {\bar{O D}}^{2} = {\bar{A B}}^{2} = {(R + r)}^{2} + {(R - r)}^{2} . \end{matrix}

miből

\begin{matrix} A B = 2 \sqrt[]{R r} . \end{matrix}

O_{1} B C

háromszögből:

\begin{matrix} B C = 2 R sin \frac{α}{2} = 2 R \sqrt[]{\frac{1 - cos α}{2}} . \end{matrix}

De az

O O_{1} D

háromszögből:

\begin{matrix} cos α = \frac{R - r}{R + r} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} B C = 2 R \sqrt[]{\frac{r}{R + r}} . \end{matrix}

A O C

háromszögből:

\begin{matrix} A C = 2 r sin \frac{180^{\circ} - α}{2} = 2 r cos \frac{α}{2} = 2 r \sqrt[]{\frac{1 + cos α}{2}} \end{matrix}

\begin{matrix} A C = 2 r \sqrt[]{\frac{R}{R + r}} . \end{matrix}

(Koós Aladár, Budapest.)

A feladatot még megoldották: Barna D., Bella I., Bobál S., Devecis M., Döme B., Freibauer E., Goldziher K., Juvancz I., Kiss A., Kohn B., Krausz B., Krisztián Gy., Obláth R., Prohászka J., Rehberger Z., Sasvári G., Spitzer Ö., Weisz Arthur, Weisz J.