Kezdőlap


Feladat:	518. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bella I. , Devecis M. , Juvancz I. , Krisztián Gy. , Obláth R. , Sasvári G. , Spitzer Ödön , Weisz J.
Füzet:	1898/szeptember, 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Prímtényezős felbontás, Diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/április: 518. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy a $p q$ szorzat páratlan szám, szükséges, hogy úgy $p$ mint $q$ páratlan szám legyen. Ennélfogva

\begin{matrix} p = 2^{x} \cdot a + 1 és q = 2^{y} \cdot b + 1, \end{matrix}

hol

a

és

b

páratlan számok és úgy

x

mint

y > 0

, mert ha pl.

x = 0

, úgy

p = a + 1

páros szám volna, a mi az előbbeniek alapján lehetetlen. A

p q

szorzat tehát így írható:

\begin{matrix} p q = (2^{x} \cdot a + 1) (2^{y} \cdot b + 1) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2^{x + y} \cdot a b + 2^{y} \cdot b + 2^{x} \cdot a + 1 = 2^{m} + 1, \end{matrix}

mely egyenlet mutatja, hogy úgy

x

mint

y < m

. Az egyenlet mindkét oldalát

2^{x}

-val osztva:

\begin{matrix} = 2^{y} \cdot a b + 2^{y - x} \cdot b + a = 2^{m - x}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} a = 2^{m - x} - 2^{y} \cdot a b + 2^{y - x} \cdot b . \end{matrix}

A baloldal

a

páratlan szám; a jobboldal csak úgy lehet páratlan szám, ha

\begin{matrix} 2^{y - x} = 1 \end{matrix}

s így csakugyan

\begin{matrix} x = y . \end{matrix}

(Spitzer Ödön.)

A feladatot még megoldották: Bella I., Devecis M., Juvancz I., Krisztián Gy., Obláth R., Sasvári G., Weisz J.