Kezdőlap


Feladat:	515. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barabás S. , Barna D. , Devecis M. , Freibauer E. , Krausz B. , Krisztián Gy. , Manheim E. , Prohászka J. , Sasvári G. , Spitzer Ö. , Weisz József
Füzet:	1898/szeptember, 14 - 15. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Terület, felszín, Hossz, kerület, Derékszögű háromszögek geometriája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/április: 515. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$1^{\circ}$ . $x - 6$ és $y - 6$ oly egész számok, melyeknek szorzata $18$ ; ha tehát $18$ -at minden lehetséges módon két-két tényezőre bontjuk szét, úgy megkapjuk $x - 6$ és $y - 6$ összes értéket. De

\begin{matrix} 18 = 1 \times 18 = 2 \times 9 = 3 \times 6 \end{matrix}

s így

\begin{matrix} x - 6 értékei : 1, 2, 3; \end{matrix}

Ennélfogva

\begin{matrix} x \end{matrix}

x

és

y

értékei fel is cserélhetők.

2^{\circ}

. Ha a meghatározandó derékszögű háromszögek befogói

x

és

y

, úgy a feladat értelmében:

\begin{matrix} 3 (x + y + \sqrt[]{x^{2} + y^{2})} = x y \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 3 \sqrt[]{x^{2} + y^{2}} = x y - 3 x - 3 y \end{matrix}

\begin{matrix} 9 x^{2} + 9 y^{2} = x^{2} y^{2} - 6 x^{2} y + 9 x^{2} - 6 x y^{2} + 18 x y + 9 y^{2} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} x^{2} y^{2} - 6 x y (x + y) + 18 x y = 0 \end{matrix}

x y

-nal egyszerűsítve:

\begin{matrix} x y - 6 (x + y) + 18 = 0, \end{matrix}

mely egyenleg még így is írható:

\begin{matrix} (x - 6) (y - 6) = 18, \end{matrix}

mely egyenlet megegyezik a megadottal.
A keresett háromszögek befogói tehát:

9

és

12

8

és

15

7

és

24.

A megfelelő átfogók:

15, 17, 25

(Weisz József.)

A feladatot még megoldották: Barabás S., Barna D., Devecis M., Freibauer E., Krausz B., Krisztián Gy., Manheim E., Prohászka J., Sasvári G., Spitzer Ö.