Kezdőlap


Feladat:	509. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bojedain F. , Devecis Mihály , Goldziher K. , Groffits G. , Juvancz I. , Koós A. , Krausz B. , Lukhaub Gy. , Probst E. , Prohászka J. , Sasvári G. , Spitzer S.
Füzet:	1898/október, 36 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Parabola egyenlete, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Kúpszeletek érintői, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/március: 509. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $A B$ húr $A$ pontjának a coordinátái $x_{1}$ és $y_{1}$ , a $B$ pont coordiátái $x_{2}$ és $y_{2}$ , akkor (miután az $F$ gyújtópont coordinátái $3$ és $0$ ) az $A B$ húr egyenlete:

\begin{matrix} y = (x - 3) tg 60^{\circ} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} y^{2} = 3 {(x - 3)}^{2} . \end{matrix}

Ha ezen egyenletet összekapcsoljuk a parabola megadott egyenletével, úgy megkapjuk az

A

és

B

pontok abscissáit;

\begin{matrix} 3 {(x - 3)}^{2} = 12 x, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x_{1} = 9, x_{2} = 1, \end{matrix}

s így

\begin{matrix} A B = \frac{x_{1} - x_{2}}{sin 30^{\circ}} = 16. \end{matrix}

A O

érintő felezi az

L A F

szöget és a

B O

érintő felezi az

A B K

szöget (

L

-lel és

K

-val jelöljük azokat a pontokat, melyekben az

A

és

B

pontokból az abscissa tengellyel rajzolt párhuzamosak az ordinátatengelyt metszik); ennélfogva

\begin{matrix} O A F ∢ + O B F ∢ = \frac{1}{2} (L A F ∢ + F B K ∢) = 90^{\circ} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} A O B ∢ = 90^{\circ} \end{matrix}

(Devecis Mihály.)

A feladatot még megoldották: Bojedain F., Goldziher K., Groffits G., Juvancz I., Koós A., Krausz B., Lukhaub Gy., Probst E., Prohászka J., Sasvári G., Spitzer S.