Kezdőlap


Feladat:	501. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barna D. , Bella I. , Bojedain F. , Devecis M. , Freibauer E. , Goldziher Károly , Juvancz I. , Krisztián Gy. , Lukhaub Gy. , Probst E. , Prohászka J. , Sasvári G. , Spitzer Ö. , Szabó I. , Weisz J.
Füzet:	1898/szeptember, 23 - 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/március: 501. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A megadott egyenlet még így is írható:

\begin{matrix} a^{2} (\frac{cos β}{sin β} - \frac{cos γ}{sin γ}) + b^{2} (\frac{cos γ}{sin γ} - \frac{cos α}{sin α}) + c^{2} (\frac{cos α}{sin α} - \frac{cos β}{sin β}) = 0. \end{matrix}

Az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel

sin α sin β sin γ

-val megszorozva:

\begin{matrix} a^{2} sin α sin (γ - β) + b^{2} sin β sin (α - γ) + c^{2} sin γ sin (β - α) = 0. \end{matrix}

\begin{matrix} sin α = sin (β + γ), sin β = sin (α + γ), sin γ = sin (α + β) \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a^{2} sin (α + β) sin (α - β) + b^{2} sin (α + γ) sin (α - γ) + \end{matrix}

\begin{matrix} + c^{2} sin (β + α) sin (β - α) = 0 \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a^{2} sin^{2} γ cos^{2} β - a^{2} sin^{2} β cos^{2} γ + b^{2} sin^{2} α cos^{2} γ - b^{2} sin^{2} γ cos^{2} α + \end{matrix}

\begin{matrix} + c^{2} sin^{2} β cos^{2} α - c^{2} sin^{2} α cos^{2} β = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} cos^{2} β (a^{2} sin^{2} γ - c^{2} sin^{2} α) + cos^{2} γ (b^{2} sin^{2} α - a^{2} sin^{2} β) + \end{matrix}

\begin{matrix} + cos^{2} α (c^{2} sin^{2} β - b^{2} sin^{2} γ) = 0. \end{matrix}

A zárójelekben álló kifejezések mindegyike a sinus-tétel értelmében

0

s így az egyenlet baloldala csakugyan

0

(Goldziher Károly)

A feladatot még megoldották: Barna D., Bella I., Bojedain F., Devecis M., Freibauer E., Juvancz I., Krisztián Gy., Lukhaub Gy., Probst E., Prohászka J., Sasvári G., Spitzer Ö., Szabó I., Weisz J.