Kezdőlap


Feladat:	488. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szabó István
Füzet:	1898/szeptember, 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Téglalapok, Hossz, kerület, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Négyzetek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/február: 488. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a kör sugara $r$ , egy tetszésszerinti derékszögű négyszög oldalai $x$ és $y$ , úgy e négyszög kerülete:

\begin{matrix} k = 2 (x + y), \end{matrix}

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 4 r^{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} \frac{k}{2} = x + \sqrt[]{4 r^{2} - x^{2}} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} \frac{k^{2}}{4} - k x + x^{2} = 4 r^{2} - x^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} 2 x^{2} - k x + \frac{k^{2}}{4} - 4 r^{2} = 0, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = k \end{matrix}

x

csak úgy lehet reális, ha

\begin{matrix} 32 r^{2} ≧ k^{2} \end{matrix}

s így

k^{2}

legnagyobb értéke

32 r^{2}

, tehát

k

legnagyobb értéke:

4 r \sqrt[]{2}

; ekkor

\begin{matrix} x = \frac{k}{4} = r \sqrt[]{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} y = \frac{k}{2} - \frac{k}{4} = \frac{k}{4} = x, \end{matrix}

vagyis a körbe írt derékszögű négyszögek közül a négyzetnek van a legnagyobb kerülete.

(Szabó István.)

Megoldások száma: 39.