Kezdőlap


Feladat:	485. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Perl Gyula
Füzet:	1898/november, 51 - 52. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt kör, Hozzáírt körök, Terület, felszín, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/február: 485. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

^{$^{*}$} $1^{\circ}$ . Ismeretes, hogy

\begin{matrix} r = \frac{2 t}{a + b + c} = \frac{2 t}{2 s} = \frac{t}{s}; \end{matrix}

ennélfogva

\begin{matrix} r^{2} = \frac{t^{2}}{s^{2}} = \frac{s s_{1} s_{2} s_{3}}{s^{2}} = \frac{s_{1} s_{2} s_{3}}{s}; \end{matrix}

\begin{matrix} r_{1}^{2} = \frac{t^{2}}{s_{1}^{2}} = \frac{s s_{1} s_{2} s_{3}}{s_{1}^{2}} = \frac{s s_{2} s_{3}}{s_{1}}, stb . \end{matrix}

2^{\circ}

\begin{matrix} r = \frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} + \frac{1}{r_{3}} = \frac{s - a}{t} + \frac{s - b}{t} + \frac{s - c}{t} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{3 s - (a + b + c)}{t} = \frac{s}{t} = \frac{1}{r} . \end{matrix}

3^{\circ}

\begin{matrix} r r_{1} r_{2} r_{3} = \frac{t}{s} \cdot \frac{t}{s - a} \cdot \frac{t}{s - b} \cdot \frac{t}{s - c} = \end{matrix}

\begin{matrix} = \frac{t^{4}}{t^{2}} = s s_{1} s_{2} s_{3} . \end{matrix}

(Perl Gyula, Győr.)

Megoldások száma: 23.

^{$^{*}$}A következő jelöléseket alkalmazzuk:

s = \frac{a + b + c}{2}, s_{1} = s - a, s_{2} = s - b, s_{3} = s - c . R

a háromszög köré írható kör sugara,

O

a középpontja,

r

a háromszögbe írható kör sugara,

O'

e kör középpontja;

r_{1}, r_{2}, r_{3}

a háromszög oldalait kívülről érintő körök sugarai;

O_{1}, O_{2}, O_{3}

e körök középpontjai.

O O' = d, O O_{1} = d_{1}, O O_{2} = d_{2}, O O_{3} = d_{3}

. A beírt kör

K_{1}, K_{2}, K_{3}

pontokban érinti a háromszög oldalait; az

r_{1}, r_{2}, r_{3}

sugarú körök

K'_{1}, K''_{1}, K'''_{1}, K'_{2}, K''_{2}, K'''_{2} K'_{3}, K''_{3}, K'''_{3}

pontokban érintik a háromszög oldalait.