Kezdőlap


Feladat:	484. matematika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1898/november, 50 - 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hozzáírt körök, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Beírt kör, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/február: 484. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítás.^{$^{*}$}
$1^{\circ}$ .

\begin{matrix} A K''_{1} + A K'''_{1} = A C + C K'_{1} + A B + B K'_{1} = a + b + c, \end{matrix}

\begin{matrix} A K''_{1} = A K'''_{1} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} A K''_{1} = \frac{a + b + c}{2} = s . \end{matrix}

2^{\circ}

\begin{matrix} 2 A K_{2} + 2 a = 2 s \end{matrix}

s így

\begin{matrix} A K_{2} = s - a = s_{1}, \end{matrix}

1^{\circ}

) szerint

\begin{matrix} B K'_{2} = s, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} K'_{2} C = s - a = s_{1} \end{matrix}

s minthogy

\begin{matrix} K'_{2} C = C K_{2}'', \end{matrix}

azért

\begin{matrix} C K_{2}'' = A K_{2} = s_{1} . \end{matrix}

Épp így kimutatható, hogy

\begin{matrix} B K_{1} = C K'_{1} = s_{2}, C K_{1} = B K'_{1} = s_{3} . \end{matrix}

Megoldások száma: 23.

^{$^{*}$}A következő jelöléseket alkalmazzuk:

s = \frac{a + b + c}{2}, s_{1} = s - a, s_{2} = s - b, s_{3} = s - c . R

a háromszög köré írható kör sugara,

O

a középpontja,

r

a háromszögbe írható kör sugara,

O'

e kör középpontja;

r_{1}, r_{2}, r_{3}

a háromszög oldalait kívülről érintő körök sugarai;

O_{1}, O_{2}, O_{3}

e körök középpontjai.

O O' = d, O O_{1} = d_{1}, O O_{2} = d_{2}, O O_{3} = d_{3}

. A beírt kör

K_{1}, K_{2}, K_{3}

pontokban érinti a háromszög oldalait; az

r_{1}, r_{2}, r_{3}

sugarú körök

K'_{1}, K''_{1}, K'''_{1}, K'_{2}, K''_{2}, K'''_{2} K'_{3}, K''_{3}, K'''_{3}

pontokban érintik a háromszög oldalait.