Kezdőlap


Feladat:	482. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Hrivnák András
Füzet:	1898/június, 184 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Beírt gömb, Térfogat, Csonkagúlák, Köréírt alakzatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/február: 482. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A E F C$ a gömb $O$ középpontján átmenő és a gúla alapjának és fedőlapjának két-két szemközt fekvő oldalára merőlegesen álló metszet; $D B$ a gúla magassága. Minthogy $C O D ∢ = O A B ∢$ , azért $C D O ▵ \sim O B A ▵$ s így

\begin{matrix} A B : r = r : C D, \end{matrix}

\begin{matrix} A B = \frac{A E}{2} = r \sqrt[]{2} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} C D = \frac{C F}{2} = \frac{r}{2} \sqrt[]{2}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} C F = r \sqrt[]{2} \end{matrix}

A gúla köbtartalma:

\begin{matrix} K = \frac{2 r}{3} ({\bar{A E}}^{2} + {\bar{C F}}^{2} + A E \cdot C F) \end{matrix}

mibe

A B

és

C F

értékeit helyettesítve:

\begin{matrix} K = \frac{2 r}{3} (8 r^{2} + 2 r^{2} + 4 r^{2}) \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} K = \frac{28 r^{3}}{3} . \end{matrix}

(Hrivnák András.)

Megoldások száma: 39.