Kezdőlap


Feladat:	480. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barna D. , Bella I. , Fekete J. , Freibauer E. , Goldziher K. , Groffits G. , Hrivnák A. , Kertész L. , Manheim E. , Sasvári G. , Szabó István
Füzet:	1898/június, 182 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Koszinusztétel alkalmazása, Háromszögek egybevágósága, Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/február: 480. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

(1) Kössük össze $C'$ -t és $B'$ -t $A$ -val, $A'$ -t és $C'$ -t $B$ -vel, $A'$ -t és $B'$ -t $C$ -vel.

Minthogy

\begin{matrix} A B C ▵ ≅ B A C' ▵ és B A C ▵ ≅ A C B' ▵, \end{matrix}

azért

\begin{matrix} A C' = b, A B' = c, \end{matrix}

\begin{matrix} B A C' ∢ = C A B' ∢ = α \end{matrix}

s így

\begin{matrix} C' A B' ∢ = 360^{\circ} - 3 α \end{matrix}

B' C' A

háromszögből:

\begin{matrix} a'^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos 3 α \end{matrix}

A B C

háromszögből

\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos α . \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a'^{2} - a^{2} = 2 b c (cos α - cos 3 α) . \end{matrix}

\begin{matrix} cos 3 α = cos (2 α + α) = cos 2 α cos α - sin 2 α sin α = \end{matrix}

\begin{matrix} = cos^{3} α - 3 sin^{2} cos α \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a'^{2} - a^{2} = 2 b c (cos α - cos^{3} α + 3 sin^{2} cos α) \end{matrix}

\begin{matrix} a'^{2} - a^{2} = 2 b c [3 sin^{2} α cos α + cos α (1 - cos^{2} α)] \end{matrix}

\begin{matrix} a'^{2} - a^{2} = 2 b c (3 sin^{2} α cos α + cos α sin^{2} α) \end{matrix}

\begin{matrix} a'^{2} - a^{2} = 8 b c sin^{2} α cos α . \end{matrix}

De az

A B C

háromszög kettős területe:

\begin{matrix} 2 t = b c sin α \end{matrix}

s így

\begin{matrix} a'^{2} - a^{2} = 8 t sin 2 α \end{matrix}

épp így

\begin{matrix} b'^{2} - b^{2} = 8 t sin 2 β \end{matrix}

\begin{matrix} c'^{2} - c^{2} = 8 t sin 2 γ, \end{matrix}

mely egyenletek összeadásából ered:

\begin{matrix} a'^{2} + b'^{2} + c'^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 8 t (sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ) . \end{matrix}

\begin{matrix} sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = 4 sin α sin β sin γ \end{matrix}

s így végre:

\begin{matrix} a'^{2} + b'^{2} + c'^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 32 t (sin α sin β sin γ) . \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} t' = 4 t - \frac{b c}{2} sin 3 α - \frac{a c}{2} sin 3 β - \frac{a b}{2} sin 3 γ, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{b c}{2} = \frac{t}{sin α}, \frac{a c}{2} = \frac{t}{sin β}, \frac{a b}{2} = \frac{t}{sin γ} \end{matrix}

s így

\begin{matrix} t' = 4 t - \frac{t sin 3 α}{sin α} = \frac{t sin 3 β}{sin β} - \frac{t sin 3 γ}{sin γ} . \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{sin 3 α}{sin α} = \frac{sin (2 α + α)}{sin α} = \frac{sin 2 α cos α + cos 2 α sin α}{sin α} = \end{matrix}

\begin{matrix} = 2 cos^{2} α + cos^{2} α - sin^{2} α = 4 cos^{2} α - 1 \end{matrix}

épp így

\begin{matrix} \frac{sin 3 β}{sin β} = 4 cos^{2} β - 1 és \frac{sin 3 γ}{sin γ} = 4 cos^{2} γ - 1. \end{matrix}

Ezen kifejezéseket helyettesítve:

\begin{matrix} t' = 4 t + 3 t - 4 t (cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ) \end{matrix}

De (K.M.L.V.53.lap)

\begin{matrix} cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ = 1 - cos α cos β cos γ \end{matrix}

s így

\begin{matrix} t' = 3 t + 8 t cos α cos β cos γ \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} t' = t [3 + 8 cos α cos β cos γ] . \end{matrix}

(Szabó István.)

A feladatot még megoldották: Barna D., Bella I., Fekete J., Freibauer E., Goldziher K., Groffits G., Hrivnák A., Kertész L., Manheim E., Sasvári G.