Kezdőlap


Feladat:	469. matematika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Roth Miksa
Füzet:	1898/június, 180 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú gúlák, Térfogat, Szerkesztések a térben, Háromszögek hasonlósága, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1898/január: 469. matematika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a gömb középpontjának távolsága a gúla csúcsától $x$ , úgy:

\begin{matrix} r : x = p : q, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} x = \frac{r q}{p} \end{matrix}

s így a gúla magassága

\begin{matrix} m = r + x = r \frac{p + q}{p} . \end{matrix}

Ha a gömb a gúla egy oldallapját a csúcstól

y

távolságban érinti, úgy

\begin{matrix} y^{2} = x^{2} - r^{2} = \frac{r^{2} q^{2}}{p^{2}} - r^{2} = \frac{r^{2}}{p^{2}} (q^{2} - p^{2}) . \end{matrix}

Másrészt pedig

\begin{matrix} y : r = m : a, \end{matrix}

hol

a

a gúla alapélének fele; tehát:

\begin{matrix} a^{2} = \frac{m^{2} r^{2}}{y^{2}} = \frac{r^{4} q^{2} {(p + q)}^{2}}{p^{2}} \cdot \frac{p^{2}}{r^{2} (q^{2} - p^{2})} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} a^{2} = \frac{r^{2} {(p + q)}^{2}}{q^{2} - p^{2}} = \frac{r^{2} (p + q)}{q - p} \end{matrix}

s így a gúla köbtartalma

\begin{matrix} K = \frac{4 a^{2} m}{3} = \frac{4}{3} \frac{r^{3} {(q + p)}^{2}}{p (q - p)} . \end{matrix}

(Roth Miksa.)

Megoldások száma: 41.